Tìm m để pt x^2-3 nhân giá trị tuyệt đối của x = m có 4 nghiệm phân biệt
Mình không biết đề nào mới đúng nên mình sẽ giải cả hai trường hợp đề nhé[imath]![/imath]
Trường hợp đề là[imath]:[/imath]
[math]x^2 - 3|x| = m[/math]Thì mình sẽ giải như sau[imath]:[/imath]
Xét phương trình ban đầu:
[math]x^2 - 3|x| = m \quad (1)[/math]Ta đặt [imath]t = |x|[/imath].
Vì [imath]t[/imath] là giá trị tuyệt đối nên điều kiện bắt buộc là
[imath]t \ge 0[/imath].
Thay vào [imath](1)[/imath], ta được phương trình bậc hai theo ẩn [imath]t[/imath]:
[math]t^2 - 3t - m = 0 \quad (2)[/math]Với mỗi giá trị của [imath]t[/imath], ta sẽ có số nghiệm [imath]x[/imath] tương ứng như sau (do [imath]t = |x|[/imath]):
- Nếu [imath]t < 0[/imath]: Phương trình [imath]|x| = t[/imath] vô nghiệm ([imath]0[/imath] nghiệm [imath]x[/imath]).
- Nếu [imath]t = 0[/imath]: Phương trình [imath]|x| = 0[/imath] có [imath]1[/imath] nghiệm duy nhất là [imath]x = 0[/imath].
- Nếu [imath]t > 0[/imath]: Phương trình [imath]|x| = t[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt là [imath]x = t[/imath] và [imath]x = -t[/imath].
Đề bài yêu cầu phương trình [imath](1)[/imath] phải có [imath]4[/imath] nghiệm [imath]x[/imath] phân biệt. Dựa vào biện luận ở trên, điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi phương trình [imath](2)[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm [imath]t[/imath] phân biệt và cả hai nghiệm này đều phải mang dấu dương ([imath]t_1 >0, t_2 > 0[/imath]).
(Vì cứ mỗi [imath]t > 0[/imath] sẽ cho ta ra [imath]2[/imath] nghiệm [imath]x[/imath] phân biệt, nên [imath]2[/imath] nghiệm [imath]t > 0[/imath] sẽ cho đúng [imath]4[/imath] nghiệm [imath]x[/imath] phân biệt).
Để phương trình bậc hai [imath](2)[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt dương, ta cần thỏa mãn đồng thời [imath]3[/imath] điều kiện sau:
- Biệt thức [imath]\Delta > 0[/imath] (để có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt).
- Tổng hai nghiệm [imath]S > 0[/imath] (để hai nghiệm dương).
- Tích hai nghiệm [imath]P > 0[/imath] (để hai nghiệm cùng dấu).
Áp dụng vào phương trình [imath]t^2 - 3t - m = 0[/imath] (với [imath]a = 1, b = -3, c = -m[/imath]):
- [imath]\Delta = (-3)^2 - 4(1)(-m) = 9 + 4m > 0 \Rightarrow 4m > -9 \Rightarrow m > -\frac{9}{4}[/imath]
- [imath]S = -\frac{b}{a} = 3 > 0[/imath] (Điều này luôn đúng)
- [imath]P = \frac{c}{a} = -m > 0 \Rightarrow m < 0[/imath]
Gộp các điều kiện lại với nhau, ta được:
[math]-\frac{9}{4} < m < 0[/math]
Trường hợp đề là[imath]:[/imath]
[math](x^2 - 3)|x| = m[/math]Thì mình sẽ giải như sau[imath]:[/imath]
Xét phương trình ban đầu:
[imath](x^2 - 3)|x| = m \quad (1)[/imath]
Vì [imath]x^2 = |x|^2[/imath] với mọi [imath]x[/imath], ta có thể viết lại phương trình là:
[math](|x|^2 - 3)|x| = m[/math]Đặt [imath]t = |x|[/imath] với điều kiện [imath]t \ge 0[/imath]. Phương trình trở thành:
[math](t^2 - 3)t = m[/math][math]\Leftrightarrow t^3 - 3t - m = 0 \quad (2)[/math]Với mỗi giá trị của [imath]t[/imath], ta sẽ có số nghiệm [imath]x[/imath] tương ứng như sau (do [imath]t = |x|[/imath]):
- Nếu [imath]t < 0[/imath]: Phương trình [imath]|x| = t[/imath] vô nghiệm ([imath]0[/imath] nghiệm [imath]x[/imath]).
- Nếu [imath]t = 0[/imath]: Phương trình [imath]|x| = 0[/imath] có [imath]1[/imath] nghiệm duy nhất là [imath]x = 0[/imath].
- Nếu [imath]t > 0[/imath]: Phương trình [imath]|x| = t[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt là [imath]x = t[/imath] và [imath]x = -t[/imath].
Đề bài yêu cầu phương trình [imath](1)[/imath] phải có [imath]4[/imath] nghiệm [imath]x[/imath] phân biệt.
Dựa vào biện luận ở trên, điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi phương trình [imath](2)[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm [imath]t[/imath] phân biệt và cả hai nghiệm này đều phải mang dấu dương ([imath]t_1 >0, t_2 > 0[/imath]).
(Vì cứ mỗi [imath]t > 0[/imath] sẽ cho ta ra [imath]2[/imath] nghiệm [imath]x[/imath] phân biệt, nên [imath]2[/imath] nghiệm [imath]t > 0[/imath] sẽ cho đúng [imath]4[/imath] nghiệm [imath]x[/imath] phân biệt).
Theo định lý Viète, ta có:
- Tổng [imath]3[/imath] nghiệm: [imath]t_1 + t_2 + t_3 = 0[/imath]
- Tích [imath]3[/imath] nghiệm: [imath]t_1 \cdot t_2 \cdot t_3 = m[/imath]
Để phương trình bậc hai [imath](2)[/imath] có [imath]2[/imath] nghiệm phân biệt dương, ta cần xét [imath]2[/imath] trường hợp sau:
Trường hợp [imath]1[/imath]: Phương trình [imath](2)[/imath] có [imath]1[/imath] nghiệm kép và [imath]1[/imath] nghiệm đơn
Không mất tính tổng quát, ta giả sử [imath]t_1 = t_2[/imath], khi đó:
[imath]t_1 + t_2 + t_3 = 0 \Leftrightarrow 2t_1 + t_3 = 0 \Leftrightarrow 2t_1 = -t_3[/imath]
Điều này nghĩa là nghiệm kép luôn trái dấu với nghiệm đơn, nói cách khác chỉ luôn tồn tại [imath]1[/imath] nghiệm [imath]t>0[/imath].
Vậy ta loại trường hợp này.
Trường hợp [imath]2[/imath]: Phương trình [imath](2)[/imath] có [imath]3[/imath] nghiệm phân biệt dương
Vì tổng [imath]3[/imath] nghiệm bằng [imath]0[/imath], nên [imath]3[/imath] nghiệm này không thể cùng dương hoặc cùng âm. Bắt buộc phải có [imath]2[/imath] nghiệm dương và [imath]1[/imath] nghiệm âm, hoặc [imath]1[/imath] nghiệm dương và [imath]2[/imath] nghiệm âm.
Do ta cần phải có
đúng [imath]2[/imath] nghiệm dương nên không mất tính tổng quát ta giả sử đó là [imath]t_1 > 0[/imath] và [imath]t_2 > 0[/imath].
Vì [imath]t_1 + t_2 + t_3 = 0 \Rightarrow t_3 = -(t_1 + t_2)[/imath]. Do [imath]t_1, t_2[/imath] dương nên [imath]t_3[/imath] bắt buộc phải là một số âm ([imath]t_3 < 0[/imath]).
Do [imath]t_1>0[/imath], [imath]t_2>0[/imath] và [imath]t_3 < 0[/imath] nên:
[math]m = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 <0[/math]Phương trình [imath](2)[/imath] có thể viết lại dưới dạng đầy đủ:
[math]1 \cdot x^3 + 0 \cdot x^2 + (-3) \cdot x + (-m) = 0[/math]Từ đây, ta xác định được các hệ số: [imath]a = 1[/imath], [imath]b = 0[/imath], [imath]c = -3[/imath] và [imath]d = -m[/imath].
Phương trình [imath](2)[/imath] là phương tình bậc [imath]3[/imath] có biệt thức [imath]\Delta[/imath]:
[math]\Delta = 18abcd - 4b^3d + b^2c^2 - 4ac^3 - 27a^2d^2[/math][math]\Leftrightarrow \Delta = 18(1)(0)(-3)(-m) - 4(0)^3(-m) + (0)^2(-3)^2 - 4(1)(-3)^3 - 27(1)^2(-m)^2[/math][math]\Leftrightarrow \Delta = 0 - 0 + 0 - 4(1)(-27) - 27(1)(m^2) = 108 - 27m^2[/math]Để phương trình [imath](2)[/imath] có đúng [imath]3[/imath] nghiệm thực phân biệt thì biệt thức [imath]\Delta[/imath] của nó phải lớn hơn [imath]0[/imath]:
[math]108 - 27m^2 > 0[/math][math]\Leftrightarrow 27m^2 < 108[/math][math]\Leftrightarrow m^2 < 4[/math][math]\Leftrightarrow -2 < m < 2[/math]Gộp thêm điều kiện [imath]m < 0[/imath] ta thu được tập hợp các giá trị của [imath]m[/imath] thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
[math]-2 < m < 0[/math]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
