Tìm GTLN, GTNN của hàm số

[Hương Subin]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tìm GTLN, GTNN của y=[tex]\frac{2}{3}\sqrt{x-x^{2}} +\sqrt{x}+[tex]^{\sqrt{1-x}}[/tex]
2)Tìm GTLN, GTNN của y= [tex]\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{-x^{2}+5x-4}[/tex]

 

[lengoctutb]

1) Tìm GTLN, GTNN của y=[tex]\frac{2}{3}\sqrt{x-x^{2}} +\sqrt{x}+[tex]^{\sqrt{1-x}}[/tex]
2)Tìm GTLN, GTNN của y= [tex]\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{-x^{2}+5x-4}[/tex]

Bài [imath]1[/imath] [imath]:[/imath]

Không biết đề đúng của bạn có phải như này không[imath]?[/imath]
[math]y = \frac{2}{3}\sqrt{x - x^2} + \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}[/math]Nếu sai thì nhờ bạn sửa lại đề và mình sẽ giải lại. Nếu đúng thì dưới đây là lời giải của mình:

Hàm số [imath]y = \frac{2}{3}\sqrt{x - x^2} + \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}[/imath] xác định khi các biểu thức trong căn không âm:

• [imath]x \ge 0[/imath]
• [imath]1 - x \ge 0 \Leftrightarrow x \le 1[/imath]
• [imath]x - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x(1 - x) \ge 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1[/imath]

Vậy tập xác định của hàm số là đoạn [imath]D = [0; 1][/imath].
Ta đặt:
[math]t = \sqrt{x} + \sqrt{1 - x}[/math]Bình phương hai vế, ta có:
[math]t^2 = (\sqrt{x} + \sqrt{1 - x})^2[/math][math]t^2 = x + 1 - x + 2\sqrt{x(1 - x)}[/math][math]t^2 = 1 + 2\sqrt{x - x^2}[/math]Từ phương trình này, ta rút ra được:
[math]\sqrt{x - x^2} = \frac{t^2 - 1}{2}[/math]Với [imath]x \in [0; 1][/imath], ta luôn có [imath]\sqrt{x - x^2} \ge 0[/imath].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số không âm [imath]x[/imath] và [imath]1 - x[/imath]:
[math]\sqrt{x - x^2} = \sqrt{x(1 - x)} \le \frac{x + 1 - x}{2} = \frac{1}{2}[/math]Suy ra:
[math]0 \le \sqrt{x - x^2} \le \frac{1}{2}[/math][math]\Leftrightarrow 2 \cdot 0 \le 2 \cdot \sqrt{x - x^2} \le 2 \cdot \frac{1}{2}[/math][math]\Leftrightarrow 0 \le 2\sqrt{x - x^2} \le 1[/math][math]\Leftrightarrow 1 + 0 \le 1 + 2\sqrt{x - x^2} \le 1 + 1[/math][math]\Leftrightarrow 1 \le 1 + 2\sqrt{x - x^2} \le 2[/math][math]\Leftrightarrow 1 \le t^2 \le 2[/math]Với [imath]t^2 \ge 1[/imath]: [imath]t^2 - 1 \ge 0 \Leftrightarrow (t - 1)(t + 1) \ge 0 \Leftrightarrow t \ge 1[/imath] hoặc [imath]t \le -1[/imath].
Với [imath]t^2 \le 2[/imath]: [imath]t^2 - 2 \le 0 \Leftrightarrow (t - \sqrt{2})(t + \sqrt{2}) \le 0 \Leftrightarrow -\sqrt{2} \le t \le \sqrt{2}[/imath].
Giao hai tập nghiệm trên trục số, ta sẽ được hai khoảng thỏa mãn cả hai điều kiện:
[math]t \in [-\sqrt{2}; -1] \cup [1; \sqrt{2}][/math]Vì căn bậc hai số học của một số luôn không âm ([imath]\sqrt{x} \ge 0[/imath] và [imath]\sqrt{1 - x} \ge 0[/imath]), nên tổng của hai căn bậc hai cũng phải lớn hơn hoặc bằng [imath]0[/imath]. Tức là ta luôn có [imath]t \ge 0[/imath].
Kết hợp điều kiện [imath]t \ge 0[/imath] với hai khoảng nghiệm vừa tìm được ở trên, ta được:
[math]1 \le t \le \sqrt{2}[/math]Thay các biểu thức theo biến [imath]t[/imath] vào hàm số [imath]y[/imath] ban đầu, ta được một hàm số mới [imath]f(t)[/imath]:
[math]f(t) = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{t^2 - 1}{2}\right) + t[/math][math]\Leftrightarrow f(t) = \frac{t^2 - 1}{3} + t[/math][math]\Leftrightarrow f(t) = \frac{t^2 + 3t - 1}{3}[/math]Bây giờ, ta xét sự biến thiên của hàm [imath]f(t)[/imath] trên đoạn [imath][1; \sqrt{2}][/imath].
Đạo hàm:
[math]f'(t) = \frac{2t + 3}{3}[/math]Vì [imath]t \in [1; \sqrt{2}][/imath] nên [imath]t > 0[/imath], do đó [imath]f'(t) > 0[/imath] với mọi [imath]t \in [1; \sqrt{2}][/imath]
Điều này chứng tỏ hàm số [imath]f(t)[/imath] luôn đồng biến trên đoạn [imath][1; \sqrt{2}][/imath].
Vì hàm số đồng biến nên giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất sẽ đạt được tại hai đầu mút của đoạn [imath][1; \sqrt{2}][/imath].

• Giá trị nhỏ nhất ([imath]GTNN[/imath]): Đạt được tại [imath]t = 1[/imath].
  [math]GTNN = f(1) = \frac{1^2 + 3(1) - 1}{3} = 1[/math]Dấu "[imath]=[/imath]" xảy ra khi [imath]\sqrt{x - x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0[/imath] hoặc [imath]x = 1[/imath].
• Giá trị lớn nhất ([imath]GTLN[/imath]): Đạt được tại [imath]t = \sqrt{2}[/imath].
  [math]GTLN = f(\sqrt{2}) = \frac{(\sqrt{2})^2 + 3\sqrt{2} - 1}{3} = \frac{1 + 3\sqrt{2}}{3}[/math]Dấu "[imath]=[/imath]" xảy ra khi [imath]\sqrt{x - x^2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x(1 - x) = \frac{1}{4} \Leftrightarrow x^2 - x + \frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow \left(x - \frac{1}{2}\right)^2 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}[/imath].

---

Vậy:

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số [imath]y[/imath] là [imath]1[/imath] (khi [imath]x = 0[/imath] hoặc [imath]x = 1[/imath]).
• Giá trị lớn nhất của hàm số [imath]y[/imath] là [imath]\frac{1 + 3\sqrt{2}}{3}[/imath] (khi [imath]x = \frac{1}{2}[/imath]).

 

[lengoctutb]

1) Tìm GTLN, GTNN của y=[tex]\frac{2}{3}\sqrt{x-x^{2}} +\sqrt{x}+[tex]^{\sqrt{1-x}}[/tex]
2)Tìm GTLN, GTNN của y= [tex]\sqrt{x-1}+\sqrt{4-x}+\sqrt{-x^{2}+5x-4}[/tex]

Bài [imath]2[/imath] [imath]:[/imath]

Hàm số [imath]y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{-x^2 + 5x - 4}[/imath] xác định khi tất cả các biểu thức trong căn đều không âm:

• [imath]x - 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1[/imath]
• [imath]4 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 4[/imath]
• [imath]-x^2 + 5x - 4 \ge 0 \Rightarrow 1 \le x \le 4[/imath]

Vậy tập xác định của hàm số là đoạn [imath]D = [1; 4][/imath].
Do:
[math]-x^2 + 5x - 4 = -(x^2 - 5x + 4) = -(x - 1)(x - 4) = (x - 1)(4 - x)[/math]Nên hàm số tương đương:
[math]y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{(x - 1)(4 - x)}[/math]Đặt [imath]t = \sqrt{x - 1} + \sqrt{4 - x}[/imath].
Bình phương hai vế, ta có:
[math]t^2 = (x - 1) + (4 - x) + 2\sqrt{(x - 1)(4 - x)}[/math][math]t^2 = 3 + 2\sqrt{-x^2 + 5x - 4}[/math]Từ đây, ta rút ra được cụm chứa căn thứ ba:
[math]\sqrt{-x^2 + 5x - 4} = \frac{t^2 - 3}{2}[/math]
Với [imath]x \in [1; 4][/imath], ta luôn có [imath]\sqrt{-x^2 + 5x - 4} \ge 0[/imath].
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy (AM-GM) cho hai số không âm [imath]x - 1[/imath] và [imath]4 - x[/imath]:
[math]\sqrt{-x^2 + 5x - 4} = \sqrt{(x - 1)(4 - x)} \le \frac{x - 1 + 4 - x}{2} = \frac{3}{2}[/math]Suy ra:
[math]0 \le \sqrt{-x^2 + 5x - 4} \le \frac{3}{2}[/math][math]\Leftrightarrow 2 \cdot 0 \le 2 \cdot \sqrt{-x^2 + 5x - 4} \le 2 \cdot \frac{3}{2}[/math][math]\Leftrightarrow 0 \le 2\sqrt{-x^2 + 5x - 4} \le 3[/math][math]\Leftrightarrow 3 + 0 \le 3 + 2\sqrt{-x^2 + 5x - 4} \le 3 + 3[/math][math]\Leftrightarrow 3 \le 3 + 2\sqrt{-x^2 + 5x - 4} \le 6[/math][math]\Leftrightarrow 3 \le t^2 \le 6[/math]Với [imath]t^2 \ge 3[/imath]: [imath]t^2 - 3 \ge 0 \Leftrightarrow (t - \sqrt{3})(t + \sqrt{3}) \ge 0 \Leftrightarrow t \ge \sqrt{3}[/imath] hoặc [imath]t \le -\sqrt{3}[/imath].
Với [imath]t^2 \le 6[/imath]: [imath]t^2 - 6 \le 0 \Leftrightarrow (t - \sqrt{6})(t + \sqrt{6}) \le 0 \Leftrightarrow -\sqrt{6} \le t \le \sqrt{6}[/imath].
Giao hai tập nghiệm trên trục số, ta sẽ được hai khoảng thỏa mãn cả hai điều kiện:
[math]t \in [-\sqrt{6}; -\sqrt{3}] \cup [\sqrt{3}; \sqrt{6}][/math]Vì căn bậc hai số học của một số luôn không âm ([imath]\sqrt{x-1} \ge 0[/imath] và [imath]\sqrt{4 - x} \ge 0[/imath]), nên tổng của hai căn bậc hai cũng phải lớn hơn hoặc bằng [imath]0[/imath]. Tức là ta luôn có [imath]t \ge 0[/imath].
Kết hợp điều kiện [imath]t \ge 0[/imath] với hai khoảng nghiệm vừa tìm được ở trên, ta được:
[math]\sqrt{3} \le t \le \sqrt{6}[/math]Thay ẩn [imath]t[/imath] vào hàm số ban đầu, ta được hàm số [imath]f(t)[/imath]:
[math]f(t) = t + \frac{t^2 - 3}{2} = \frac{t^2 + 2t - 3}{2}[/math]Xét sự biến thiên của [imath]f(t)[/imath] trên đoạn [imath][\sqrt{3}; \sqrt{6}][/imath]:
Đạo hàm:
[math]f'(t) = \frac{2t + 2}{2} = t + 1[/math]Vì [imath]t \in [\sqrt{3}; \sqrt{6}][/imath] nên [imath]t > 0[/imath], suy ra [imath]f'(t) > 0[/imath] với mọi [imath]t \in [\sqrt{3}; \sqrt{6}][/imath].
Hàm số [imath]f(t)[/imath] luôn đồng biến trên đoạn [imath][\sqrt{3}; \sqrt{6}][/imath].
Do hàm số đồng biến, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất sẽ nằm ngay tại hai đầu mút của [imath]t[/imath].

• Giá trị nhỏ nhất ([imath]GTNN[/imath]): Đạt được tại [imath]t = \sqrt{3}[/imath]:
  [math]GTNN = f(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3} - 3}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{3} - 3}{2} = \sqrt{3}[/math](Dấu "[imath]=[/imath]" xảy ra khi: [imath]\sqrt{(x - 1)(4 - x)} = 0 \Leftrightarrow x = 1[/imath] hoặc [imath]x = 4[/imath]).
• Giá trị lớn nhất ([imath]GTLN[/imath]): Đạt được tại [imath]t = \sqrt{6}[/imath]:
  [math]GTLN = f(\sqrt{6}) = \frac{(\sqrt{6})^2 + 2\sqrt{6} - 3}{2} = \frac{6 + 2\sqrt{6} - 3}{2} = \frac{3 + 2\sqrt{6}}{2}[/math](Dấu "[imath]=[/imath]" xảy ra khi: [imath]x - 1 = 4 - x \Leftrightarrow 2x = 5 \Leftrightarrow x = \frac{5}{2}[/imath]).

Vậy:

• Giá trị nhỏ nhất của hàm số [imath]y[/imath] là [imath]\sqrt{3}[/imath] (khi [imath]x = 1[/imath] hoặc [imath]x = 4[/imath]).
• Giá trị lớn nhất của hàm số [imath]y[/imath] là [imath]\frac{3 + 2\sqrt{6}}{2}[/imath] (khi [imath]x = \frac{5}{2}[/imath]).