Toán Bất đẳng thức

[Animegirls12345]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) 3( a^2+b^2+c^2 ) ≥ ( a+b+c )^2
2) ( a+b+c )^2 ≥ 3( ab+bc+ac )
3) ( ab+bc+ac )^2 ≥ 3abc( a+b+c )
4) a^2( 1+b^2 ) + b^2( 1+c^2 ) + c^2( 1+a^2 ) ≥ 6abc
5) ( ax+by )^2 ≤ ( a^2+b^2 ) ( x^2+y^2 )

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

1) 3( a^2+b^2+c^2 ) ≥ ( a+b+c )^2
2) ( a+b+c )^2 ≥ 3( ab+bc+ac )
3) ( ab+bc+ac )^2 ≥ 3abc( a+b+c )
4) a^2( 1+b^2 ) + b^2( 1+c^2 ) + c^2( 1+a^2 ) ≥ 6abc
5) ( ax+by )^2 ≤ ( a^2+b^2 ) ( x^2+y^2 )

1) $3( a^2+b^2+c^2 )=a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)\geq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$
2) $( a+b+c )^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\geq ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)=3( ab+bc+ac )$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$
3) $( ab+bc+ac )^2=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2(ab^2c+abc^2+a^2bc)
\\\geq ab^2c+abc^2+a^2bc+2(ab^2c+abc^2+a^2bc)=3(ab^2c+abc^2+a^2bc)=3abc( a+b+c )$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c$
4) $a^2( 1+b^2 ) + b^2( 1+c^2 ) + c^2( 1+a^2 )\geq 2a^2b+2b^2c+2c^2a\geq 3\sqrt[3]{2a^2b.2b^2c.2c^2a}=3.2abc=6abc$
Dấu '=' xảy ra khi $a=b=c=1$
5) $( ax+by )^2 \leq ( a^2+b^2 ) ( x^2+y^2 )
\\\Leftrightarrow a^2x^2+b^2y^2+2abxy\leq a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2
\\\Leftrightarrow a^2y^2+b^2x^2-2abxy\geq 0$
$\Leftrightarrow (ay-bx)^2\geq 0$ (luôn đúng)
Dấu '=' xảy ra khi $ay=bx$ hay $\dfrac{a}{b}=\dfrac{x}{y}$