Toán Bất đẳng thức

[Huỳnh Ngọc Chính]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

[tex]CMR: \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}}+...+ \frac{1}{2016\sqrt{2015}}<2[/tex]

 

[chi254]

[tex]CMR: \frac{1}{2\sqrt{1}} + \frac{1}{3\sqrt{2}}+...+ \frac{1}{2016\sqrt{2015}}<2[/tex]

Ta có :
$\dfrac{1}{(n + 1)\sqrt{n}}$
$= \dfrac{\sqrt{n}}{(n + 1)n}$
$= \sqrt{n}(\dfrac{1}{n} - \dfrac{1}{n + 1})$
$= \sqrt{n}(\dfrac{1}{\sqrt{n}} + \dfrac{1}{\sqrt{n+1}})(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}})$
$= (1 + \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}})(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}}) < 2(\dfrac{1}{\sqrt{n}} - \dfrac{1}{\sqrt{n+1}})$
Áp dụng vào các số hạng của bđt cần c/m thì ta dễ dàng c/m được:
$\dfrac{1}{2\sqrt{1}} + \dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+ \dfrac{1}{2016\sqrt{2015}}<2$