Toán Bất đẳng thức

[lean0803]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a,b,c > 0; $$a+b+c\leq \frac{3}{2}$$. Tìm GTNN của A= $$a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
Bài 2: Cho x,y>0 thỏa mãn $$x+y\leq 4$$, tìm GTNN của A= $$\frac{2}{x^{2}+y^{2}} + \frac{35}{xy} +2xy$$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 1:
Ta sẽ đi chứng minh:
$x^2+\dfrac{1}{x} \geq -3x+\dfrac{15}{4}$ với $x \in (0,\dfrac{3}{2})$
Thật vậy chuyển vế quy đồng ta sẽ thu được:
$\dfrac{(2a-1)^2(a+4)}{4a} \geq 0$.
Điều này hiển nhiên đúng áp dụng vào ta có:
$A \geq -3(a+b+c)+\dfrac{15}{4}.3 \geq -3.\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{4}.3=\dfrac{27}{4}$
Dấu '=' khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$
Bài 2:
$(\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy})+(\dfrac{32}{xy}+2xy)+\dfrac{2}{xy}
\\\geq \dfrac{8}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\dfrac{32}{xy}.2xy}+\dfrac{2}{\dfrac{(x+y)^2}{4}}
\\=\dfrac{8}{16}+16+\dfrac{8}{16}=17$.
Dấu '=' khi $x=y=2$

 

[thanhbinh2002]

Bài 1:
Ta sẽ đi chứng minh:
$x^2+\dfrac{1}{x} \geq -3x+\dfrac{15}{4}$ với $x \in (0,\dfrac{3}{2})$
Thật vậy chuyển vế quy đồng ta sẽ thu được:
$\dfrac{(2a-1)^2(a+4)}{4a} \geq 0$.
Điều này hiển nhiên đúng áp dụng vào ta có:
$A \geq -3(a+b+c)+\dfrac{15}{4}.3 \geq -3.\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{4}.3=\dfrac{27}{4}$
Dấu '=' khi $a=b=c=\dfrac{1}{2}$
Bài 2:
$(\dfrac{2}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{2xy})+(\dfrac{32}{xy}+2xy)+\dfrac{2}{xy}
\\\geq \dfrac{8}{x^2+y^2+2xy}+2\sqrt{\dfrac{32}{xy}.2xy}+\dfrac{2}{\dfrac{(x+y)^2}{4}}
\\=\dfrac{8}{16}+16+\dfrac{8}{16}=17$.
Dấu '=' khi $x=y=2$

bài 2 mình không hiểu cậu có thể viết rõ ra không

 

[iceghost]

bài 2 mình không hiểu cậu có thể viết rõ ra không

Chỗ nào bạn nhỉ ?

 

[thanhbinh2002]

Chỗ nào bạn nhỉ ?

dòng đầu tiên luôn bạn ạ

 

[iceghost]

dòng đầu tiên luôn bạn ạ

Chỉ là tách $\dfrac{35}{xy} = \dfrac{1}{xy} + \dfrac{32}{xy} + \dfrac{2}{xy} = \dfrac{2}{2xy} + \dfrac{32}{xy} + \dfrac{2}{xy}$ rồi nhóm ghép bình thường thôi bạn

 

[thanhbinh2002]

Chỉ là tách $\dfrac{35}{xy} = \dfrac{1}{xy} + \dfrac{32}{xy} + \dfrac{2}{xy} = \dfrac{2}{2xy} + \dfrac{32}{xy} + \dfrac{2}{xy}$ rồi nhóm ghép bình thường thôi bạn

không phải đoạn này mà đoạn VP đó sao lại nhỏ hơn hoặc bằng VT được?

 

[iceghost]

không phải đoạn này mà đoạn VP đó sao lại nhỏ hơn hoặc bằng VT được?

Nếu là từ dòng đầu xuống dòng thứ hai:
+ Ngoặc thứ nhất: $\dfrac1x + \dfrac1y \geqslant \dfrac{4}{x+y}$
+ Ngoặc thứ hai: Bđt AM-GM cho 2 số dương
+ Ngoặc thứ ba: $xy \leqslant \dfrac{(x+y)^2}4$
Sau đó áp dụng $x+y \leqslant 4$ ở gt

 

[lean0803]

Thêm bài này được không ạ?
Cho $$0<a\leq \frac{1}{2}$$, tìm GTNN của A = $$2a+\frac{1}{a^{2}}$$ ( làm 3 cách)
Em mới làm được 2 cách là tách như sau:
Cách 1, $$a+a+\frac{1}{8a^{2}}+\frac{7}{8a^{2}}$$
Cách 2, $$8a+8a+\frac{1}{a^{2}}-14a$$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Thêm bài này được không ạ?
Cho $$0<a\leq \frac{1}{2}$$, tìm GTNN của A = $$2a+\frac{1}{a^{2}}$$ ( làm 3 cách)
Em mới làm được 2 cách là tách như sau:
Cách 1, $$a+a+\frac{1}{8a^{2}}+\frac{7}{8a^{2}}$$
Cách 2, $$8a+8a+\frac{1}{a^{2}}-14a$$

Cách 3 là xài phương pháp UCT:
Giả sử:$2a+\dfrac{1}{a^2} >=-ma+n$.
Dễ thấy min $=5$ khi $x=\dfrac{1}{2}$.
Do đó $-m.\dfrac{1}{2}+n=5\Rightarrow n=5+\dfrac{1}{2}m$
Thay vào ta có:
$2a+\dfrac{1}{a^2}=-ma+5+\dfrac{1}{2}m
\\\Rightarrow \dfrac{2a^3+1}{a^2}-5=-\dfrac{1}{2}m(2a-1)
\\\Rightarrow \dfrac{2a^3+1-5a^2}{a^2}=\dfrac{-1}{2}m(2a-1)
\\\Rightarrow \dfrac{(2a-1)(a^2-2a-1)}{a^2}=\dfrac{-1}{2}m(2a-1)
\\\Rightarrow \dfrac{a^2-2a-1}{a^2}=\dfrac{-1}{2}m$.
Điểm rơi là $a=\dfrac{1}{2}$ nên thay vào ta tìm được $m=14 \Rightarrow n=12$.
Do đó bây giờ ta sẽ chứng minh : $2a+\dfrac{1}{a^2} \geq -14a+12$ với mọi $0<a \leq \dfrac{1}{2}$.
Điều này hiển nhiên đúng do quy đồng ta sẽ thu được :$\dfrac{(2a-1)^2(4a+1)}{a^2} \geq 0$.
Do đó :$2a+\dfrac{1}{a^2} \geq -14a+12 \geq -14.\dfrac{1}{2}+12=5$.
Dấu '=' khi $a=\dfrac{1}{2}$.
Mặc dù trình bày khá dài nhưng làm quen pp UCT thì sẽ tìm ra được $m,n$ rất nhanh.

 

[iceghost]

Thêm bài này được không ạ?
Cho $$0<a\leq \frac{1}{2}$$, tìm GTNN của A = $$2a+\frac{1}{a^{2}}$$ ( làm 3 cách)
Em mới làm được 2 cách là tách như sau:
Cách 1, $$a+a+\frac{1}{8a^{2}}+\frac{7}{8a^{2}}$$
Cách 2, $$8a+8a+\frac{1}{a^{2}}-14a$$

Cách 3 của mình
$$A = 2a + \dfrac1{4a^2} + \dfrac{3}{4a^2} \geqslant 2\sqrt{2a \cdot \dfrac1{4a^2}} + \dfrac{3}{4a^2} = 2 \sqrt{\dfrac1{2a}} + \dfrac{3}{4a^2} \geqslant 2\sqrt{\dfrac1{2 \cdot \dfrac12}} + \dfrac{3}{4 \cdot (\dfrac12)^2} = 5$$

 

[lean0803]

Giúp em thêm bài nữa
Cho $$a\geq 4$$ tìm GTNN của A$$= 18+\frac{18}{\sqrt{a}}$$

 

[Otaku8874]

Giúp em thêm bài nữa
Cho $$a\geq 4$$ tìm GTNN của A$$= 18+\frac{18}{\sqrt{a}}$$

Bạn xem lại đề nhé

 

[lean0803]

Bạn xem lại đề nhé

Chết,em nhầm đề.
Sửa lại ạ:
Cho $$a\geq 4$$. Tìm GTNN của A= $$a+\frac{18}{\sqrt{a}}$$

 

[thanhbinh2002]

Chết,em nhầm đề.
Sửa lại ạ:
Cho $$a\geq 4$$. Tìm GTNN của A= $$a+\frac{18}{\sqrt{a}}$$

Có: $$\frac{18}{ \sqrt{a}} \geq \frac{18}{ \sqrt{4}} \Leftrightarrow \frac{18}{ \sqrt{a}} \geq 9$$
Lại có: $$a \geq 4$$
Cộng vế với vế ta được: $$\frac{18}{\sqrt{a}} + a \geq 9 + 4 \Leftrightarrow A \geq 13$$
Vậy A đạt GTNN bằng 13 khi a = 4

 

[Kiều Đặng Minh Ngọc]

Có: $$\frac{18}{ \sqrt{a}} \geq \frac{18}{ \sqrt{4}} \Leftrightarrow \frac{18}{ \sqrt{a}} \geq 9$$
Lại có: $$a \geq 4$$
Cộng vế với vế ta được: $$\frac{18}{\sqrt{a}} + a \geq 9 + 4 \Leftrightarrow A \geq 13$$
Vậy A đạt GTNN bằng 13 khi a = 4

Có a$$\geq 4$$ thì $$\frac{18}{\sqrt{a}}\leq \frac{18}{\sqrt{4}}$$ chứ nhỉ ??

 

[Otaku8874]

Chết,em nhầm đề.
Sửa lại ạ:
Cho $$a\geq 4$$. Tìm GTNN của A= $$a+\frac{18}{\sqrt{a}}$$

Có: $$A=a+\frac{18}{\sqrt{a}}=a+\frac{9}{\sqrt{a}}+\frac{9}{\sqrt{a}}\geq 3\sqrt[3]{\frac{a.9.9}{\sqrt{a}.\sqrt{a}}} = 9.\sqrt[3]{3}$$

dấu đẳng thức xảy ra khi a = $$3\sqrt[3]{3}$$

 

[Nguyễn Mạnh Trung]

Cách 3 là xài phương pháp UCT:
Giả sử:$2a+\dfrac{1}{a^2} >=-ma+n$.
Dễ thấy min $=5$ khi $x=\dfrac{1}{2}$.
Do đó $-m.\dfrac{1}{2}+n=5\Rightarrow n=5+\dfrac{1}{2}m$
Thay vào ta có:
$2a+\dfrac{1}{a^2}=-ma+5+\dfrac{1}{2}m
\\\Rightarrow \dfrac{2a^3+1}{a^2}-5=-\dfrac{1}{2}m(2a-1)
\\\Rightarrow \dfrac{2a^3+1-5a^2}{a^2}=\dfrac{-1}{2}m(2a-1)
\\\Rightarrow \dfrac{(2a-1)(a^2-2a-1)}{a^2}=\dfrac{-1}{2}m(2a-1)
\\\Rightarrow \dfrac{a^2-2a-1}{a^2}=\dfrac{-1}{2}m$.
Điểm rơi là $a=\dfrac{1}{2}$ nên thay vào ta tìm được $m=14 \Rightarrow n=12$.
Do đó bây giờ ta sẽ chứng minh : $2a+\dfrac{1}{a^2} \geq -14a+12$ với mọi $0<a \leq \dfrac{1}{2}$.
Điều này hiển nhiên đúng do quy đồng ta sẽ thu được :$\dfrac{(2a-1)^2(4a+1)}{a^2} \geq 0$.
Do đó :$2a+\dfrac{1}{a^2} \geq -14a+12 \geq -14.\dfrac{1}{2}+12=5$.
Dấu '=' khi $a=\dfrac{1}{2}$.
Mặc dù trình bày khá dài nhưng làm quen pp UCT thì sẽ tìm ra được $m,n$ rất nhanh.

bác Hiếu bữa sau có thể làm riêng 1 topic về UTC được không ?

 

[Thảo Nguyên ĐC]

Cho mình hỏi về pp UTC là ntn được không ạ?

 

[Otaku8874]

Cho mình hỏi về pp UTC là ntn được không ạ?

Là phương pháp hệ số bất định đó bn