Toán toán nâng cao

[congkhaict1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

• bài 1 Cho x,y,z là 3 số dương
  $$x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=6$$
  tính
  $$2x^{2007}+ 3x^{2008}+x^{2009}$$
  Bài 2 Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên
• A=
  $$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+...+\frac{1}{n^{2}}$$
  

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

$1.$ sao lại là $2x^{2007}+3x^{2008}+x^{2009}$ nhỉ? mk nghĩ phải có cả $y,z$ nữa chứ ^^
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$x^2+\dfrac{1}{x^2}\geq 2$
$y^2+\dfrac{1}{y^2}\geq 2$
$z^2+\dfrac{1}{z^2}\geq 2$
$\implies x^{2}+y^{2}+z^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}\geq 6$
Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=6$
$\implies x^2=\dfrac{1}{x^2};y^2=\dfrac{1}{y^2};z^2=\dfrac{1}{z^2}\implies x=y=z=1$
....................

 

[iceghost]

Bài 2 Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên
A=
$$1+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{3}}+...+\frac{1}{n^{2}}$$

Xét số hạng tổng quát $$\dfrac{1}{n^2} = \dfrac{1}{n \cdot n} < \dfrac{1}{(n-1) \cdot n} = \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n}$$
Khi đó, thay $n = 2;3;4;\ldots;n$ vào thì ta có $$A < 1 + \dfrac{1}{1} - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} + \ldots + \dfrac{1}{n-1} - \dfrac{1}{n} = 2 - \dfrac{1}{n} < 2$$
Mà dễ thấy $A > 1$ nên $1 < A < 2$
Suy ra $A$ không thể là số tự nhiên

 

[congkhaict1]

cho các số dương a,bc,d thỏa a+b+c+d=1 chứng minh $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq 64$$

 

[congkhaict1]

Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c=1 chứng minh b+c$$\geq$$ 16abc

 

[Nguyễn Thị Kiều]

a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c

thõa điều kiện gì vậy b

 

[thanhbinh2002]

Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c chứng minh b+c$$\geq$$ 16abc

thỏa a + b + c gì hả bạn

 

[congkhaict1]

mk sửa lại câu 2 r .....

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

cho các số dương a,bc,d thỏa a+b+c+d=1 chứng minh $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\geq 64$$

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz dạng engel ta có:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}\geq \dfrac{(1+1+2+4)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{64}{1}=64$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\dfrac{1}{8};c=\dfrac{1}{4};d=\dfrac{1}{2}$
...........

Cho a,b,c là các số không âm thỏa a+b+c=1 chứng minh b+c$$\geq$$ 16abc

Áp dụng BĐT $(x+y)^2\geq 4xy\implies 1=(a+b+c)^2\geq 4a(b+c)\implies b+c\geq 4a(b+c)^2\geq 4a.4bc=16abc$ (do $(b+c)^2\geq 4bc$)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b+c;b=c\implies a=\dfrac{1}{2};b=c=\dfrac{1}{4}$
...........

 

[congkhaict1]

Dấu "=" xảy ra khi a=b=18;c=14;d=12

sao bạn tìm đc a,b,c,d khi dấu= xảy ra v ??

 

[iceghost]

sao bạn tìm đc a,b,c,d khi dấu= xảy ra v ??

Dấu '=' tại $\dfrac{a}1 = \dfrac{b}1 = \dfrac{c}2 = \dfrac{d}4$ và $a+b+c=1$

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Dấu '=' tại $\dfrac{a}1 = \dfrac{b}1 = \dfrac{c}2 = \dfrac{d}4$ và $a+b+c=1$

dạo này you hay nhầm nhỉ? ^^ ($a+b+c+d=1$ mà)

 

[iceghost]

dạo này you hay nhầm nhỉ? ^^ ($a+b+c+d=1$ mà)

Máy lag, gõ thiếu chứ không phải nhầm

 

[congkhaict1]

Tìm nghiệm của phương trình (x+y)^2=(x-1)(y+1)

 

[congkhaict1]

$1.$ sao lại là $2x^{2007}+3x^{2008}+x^{2009}$ nhỉ? mk nghĩ phải có cả $y,z$ nữa chứ ^^
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
$x^2+\dfrac{1}{x^2}\geq 2$
$y^2+\dfrac{1}{y^2}\geq 2$
$z^2+\dfrac{1}{z^2}\geq 2$
$\implies x^{2}+y^{2}+z^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}\geq 6$
Mà $x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=6$
$\implies x^2=\dfrac{1}{x^2};y^2=\dfrac{1}{y^2};z^2=\dfrac{1}{z^2}\implies x=y=z=1$
....................

Bài này cm như này cũng đc
$$(x-\frac{1}{x})^{2}+(y-\frac{1}{y})^{2}+(z-\frac{1}{z})^{2}=0$$
=>x=y=z=1
rồi thay x vào bài là đc

 

[congkhaict1]

b+c≥4a(b+c)2≥4a.4bc=16abc(x+y)2≥4xy⟹1=(a+b+c)2≥4a(b+c)⟹b+c≥4a(b+c)2≥4a.4bc=16abc(x+y)^2\geq 4xy\implies 1=(a+b+c)^2\geq 4a(b+c)\implies b+c\geq 4a(b+c)^2\geq 4a.4bc=16abc (do (b+c)2≥4bc(b+c)2≥4bc(b+c)^2\geq 4bc)

tại sao lại do (b+c)^2≥4bc(b+c)^2

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

tại sao lại do (b+c)^2≥4bc(b+c)^2

$(b+c)^2\geq 4bc$ mà bạn ^^

 

[congkhaict1]

Chắc copy sai nhưng pn giải thích rõ ra đc k?

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Chắc copy sai nhưng pn giải thích rõ ra đc k?

vấn đề là mk ko bik bạn ko hiểu chỗ nào á ^^
$(a+b+c)^2\geq 4a(b+c)$
hay $1\geq 4a(b+c)$
$\implies b+c\geq 4a(b+c)^2$ (nhân 2 về vs $b+c$)
Mà $(b+c)^2\geq 4ab\implies 4a(b+c)^2\geq 4a.4bc=16abc$