Toán CM BĐT

[Lê Anh Tuấn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1.Cho [tex]x,y,z\geq 0[/tex] tm: x+y+z=1. CMR:[tex]xy+yz+zx\leq \frac{2+9xyz}{7}[/tex]
2.Cho [tex]x,y\neq 0[/tex] thay đổi và tm [tex](x+y+1)xy=x^{2}+y^{2}[/tex].Tìm Max A=[tex]\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}[/tex]
3.Cho các số thực x,y,z tm:[tex]x^{4}+y^{4}+z^{4}=3[/tex].Tìm Max P=[tex]x^{2}(x+y)+y^{2}(y+z)+z^{2}(z+x)[/tex]

 

[Viet Hung 99]

2.Cho [tex]x,y\neq 0[/tex] thay đổi và tm [tex](x+y+1)xy=x^{2}+y^{2}[/tex].Tìm Max A=[tex]\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}[/tex]

2. Theo bài ra ta có: $(x+y+1)xy=x^{2}+y^{2}$
$\Longleftrightarrow xy(x+y)=x^2+y^2-xy \ge \dfrac{1}{2}(x+y)^2 - \dfrac{1}{4}(x+y)^2=\dfrac{1}{4}(x+y)^2$
$\Longleftrightarrow xy \ge \dfrac{1}{4}(x+y)$
$\Longleftrightarrow 16x^3y^3 \ge xy(x+y)^2$
$\Longrightarrow 16x^3y^3(x^2+y^2-xy) \ge xy(x+y)^2(x^2+y^2-xy) = xy(x+y)(x^3+y^3)$
$\Longrightarrow 16x^3y^3(x^2+y^2-xy)\ge (x^2+y^2-xy)(x^3+y^3)$
$\Longrightarrow 16x^3y^3 \ge x^3+y^3$
$\Longrightarrow 16 \ge \dfrac{1}{x^3} + \dfrac{1}{y^3}$
Vậy $A_{max} = 16$

 

[Nguyễn Xuân Hiếu]

Bài 3:ta có :[tex](ax+by+cz)^2 \leq (a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+z^2)[/tex]
Áp dụng vào ta có:
[tex]A=x^2(x+y)+y^2(y+z)+z^2(z+x) \\\leq \sqrt{(x^4+y^4+z^4)[(x+y)^2+(y+z)^2+(x+z)^2]} \\\leq \sqrt{3.2(x^2+y^2+y^2+z^2+x^2+z^2)} \\= \sqrt{3.4(x^2+y^2+z^2)} \\\leq \sqrt{3.4\sqrt{3(x^4+y^4+z^4)}}[(x+y+z)^2 \leq 3(x^2+y^2+z^2)] \\=6[/tex]
Vậy min của $A=6$ khi $x=y=z=1$