Toán Cực trị

[thanhhuyenta]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho
[tex]x\geq 1,y\geq 2,z\geq 3[/tex]
.Tìm max của [tex]A=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{z-1}}{z}[/tex]

 

[Cuprum]

cho
[tex]x\geq 1,y\geq 2,z\geq 3[/tex]
.Tìm max của [tex]A=\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}+\frac{\sqrt{z-1}}{z}[/tex]

Xét $f(t)=\frac{\sqrt{t-1}}{t}\forall t\in[1;+\infty)$.
Ta có: $f'(t)=\frac{2-t}{2t^2\sqrt{t-1}}$.
Nếu $t\in [1;2]\implies f'(t)\ge 0\implies \text{ f(t) đồng biến trên [1;2]}\implies f(t)\le f(2)=\frac{1}{2}(1)$.
Nếu $t\in [2+\infty]\implies f'(t)\le 0\implies \text{f(t) nghịch biến trên [2;+\infty]}(2)$.
Áp dụng điều này vào bài toán trên ta có:
Th1: Nếu $1\le x\le 2;y\ge 2;z\ge 3$
$\frac{\sqrt{x-1}}{x}\le \frac{1}{2}(\text{ do (1)})$.
$\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le \frac{1}{2};\frac{\sqrt{z-1}}{z}\le \frac{\sqrt{2}}{3}(\text{ do y\ge 2;z\ge 3 và (2)})$.
$\implies A\le \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{3}=1+\frac{\sqrt{2}}{3}$.
Th2: $x\ge 2;y\ge 2;z\ge 3\implies A\le 1+\frac{\sqrt{2}}{3}(\text{do (2)})$.
Tóm lại ta có: $A_{max}=1+\frac{\sqrt{2}}{3}$. Dấu $=$ xảy ra tại $x=y=2;z=3$.