[Toán 6] Toán khó dành cho học sinh giỏi

[tuhoangshanks]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho 100 số nguyên biết tổng của 11 số bất kì trong các số đó đều là số nguyên âm . Chứng minh rằng tổng 100 số nguyên đó cũng là số nguyên âm .
2, Tìm x,y thuộc Z biết :
a, ( x - 3 ) . ( 2y + 1 ) = 30
b, ( 2x + 1 ) . ( 3y - 2 ) = -55
c, xy + 3x - 7y = 21

Chú ý Tiêu đề viết theo dạng [Môn +lớp] + Tiêu đề

 

[maianhquynh1232002@gmail.com]

2.c,xy + 3x - 7y = 21
[TEX]\Leftrightarrow x(y+3)-7y-21=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x(y+3)-7(y+3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-7)(y+3)=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow\left[\begin{x-7=0}\\{y+3 = 0} [/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x=7; y=-3[/TEX] (thỏa mãn điều kiện x, y nguyên)
Vậy giá trị của (x;y)=(7;-3) thỏa mãn đề bài.

 

[tuantai6a13]

Bài 1.

Ta có : 100 : 11 = 9 (dư 1)
Gọi các số là $a_1;a_2;a_3;...;a_{100}$

Nếu tất cả các số đã cho là số nguyên dương => tổng 100 số là số nguyên dương => trái với đk đề bài.
Vậy phải có ít nhất một số nguyên âm trong 100 số trên
Vì vai trò của các số như nhau nên giả sử $a_{100}$(số bị dư ra trong phép chia đầu) là số nguyên âm. (1)
Đặt A = $a_1 + a_2+a_3+...+a_100$
=> A = $\underbrace{(a_1+a_2+a_3+...+a_{11})+(a_{12}+a_{13}+a_{14}+...+a_{22})+...+(a_{89}+a_{90}+a_{91}+...+a_{99})} + a_{100}$

9 cặp số​

Vì tổng của 11 số bất kì là số nguyên âm nên tổng của 9 cặp số là số nguyên âm (âm . dương = âm)
Mà $a_{100}$ là số nguyên âm (theo (1))
Từ (1) , (2) => A là số nguyên âm
Vậy tổng 100 số đó là số nguyên âm.(đpcm)

 

[orangery]

Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, sao cho tích của chúng bằng 57120

 

[hanh7a2002123]

Tìm bốn số tự nhiên liên tiếp, sao cho tích của chúng bằng 57120

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là $a-1; a; a+1; a+2 ( a \in \mathbb{N} )$
Ta có: $(a-1)a(a+1)(a+2)=57120$
\Leftrightarrow $(a^2+a-2)(a^2+a)=57120$ (1)
Đặt: $a^2+a-1=t$
(1) \Leftrightarrow $(t-1)(t+1)=57120$
\Leftrightarrow $t^2-1=57120 $
\Leftrightarrow $t^2=57121$
\Leftrightarrow $t=\pm 239$
Mà a thuộc N
\Rightarrowt=239, ta có:
$a^2+a-1=239$
\Leftrightarrow $(a^2+2.\frac{1}{2}a+\frac{1}{4})-1\frac{1}{4}=239$
\Leftrightarrow $(a+\frac{1}{2})^2-1\frac{1}{4}=239$ (*)
\Leftrightarrow $ (a+\frac{1}{2})^2=240\frac{1}{4}$
\Leftrightarrow $ a+\frac{1}{2})=\pm \sqrt{ 240\frac{1}{4}}$=$15\frac{1}{2}$ ( a thuộc N nên $ a+\frac{1}{2}$ thuộc N
\Rightarrow a= 15
Vậy 4 số tự nhiên phải tìm là 14;15;16;17

(*) đây là hằng đẳng thức: $a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ , cỏ ở cuối bìa sách tất cả các trường thcs đó bạn lớp 8 mới được học, nâng cao lớp 7 có 1 ít rồi đó!

 

[tuantai6a13]

Chị ơi, em có cách làm này đơn giản hơn nhưng mà em chẳng biết có đúng không nữa ạ. Mong chị xem giúp em.

Phân tích thừa số nguyên tố : 57120 = $2^5.3.5.7.17 =(2.7). (3.5).2^4.17=14.15.16.17$
Vậy 4 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là 14; 15; 16; 17.

 

[iceghost]

Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp cần tìm là $a-1; a; a+1; a+2 ( a \in \mathbb{N} )$
Ta có: $(a-1)a(a+1)(a+2)=57120$
\Leftrightarrow $(a^2+a-2)(a^2+a)=57120$ (1)
Đặt: $a^2+a-1=t$
(1) \Leftrightarrow $(t-1)(t+1)=57120$
\Leftrightarrow $t^2-1=57120 $
\Leftrightarrow $t^2=57121$ ...

Có thể làm tiếp như sau :
$\iff t^2-57121=0 \\
\iff t^2-(239)^2= 0 \\
\iff (t-239)(t+239) = 0 \\
\iff (a^2+a-240)(a^2+a+238) = 0$
Dễ thấy $a^2+a+238 > 0$
$\implies a^2+a-240 = 0 \\
\iff a^2-15a+16a-240 = 0 \\
\iff a(a-15)+16(a-15) = 0 \\
\iff (a+16)(a-15) = 0 \\
\iff \left[ \begin{array} {}a+16=0 \\ a-15=0 \end{array} \right. \\
\iff \left[ \begin{array} {}a=-16 \\ a=15 \end{array} \right.$
Do $a$ là stn nên $a=15$
Vậy 4 số đó là : $14;15;16;17$