[Đại 9] Tìm min

[pl09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b là các số thực thỏa mãn : $(a+1)(b+1)=\frac{9}{4}$
Tìm min của :
$P=\sqrt{1+{{a}^{4}}}+\sqrt{1+{{b}^{4}}}$

 

[huynhbachkhoa23]

Đặt $S=a+b; P=ab $

$4P=5-4S \le S^2 \rightarrow S \ge 1; S \le -5$

$P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4} \ge \sqrt{4+(a^2+b^2)^2} \ge \sqrt{4+\dfrac{S^4}{4}}$

Dễ thấy $f(t)=\dfrac{t^4}{4}$ đồng biến khi $x>0 $ và nghịch biến khi $x<0$

Suy ra $g(S)=\sqrt{4+\dfrac{S^4}{4}}$ đồng biến khi $x>0$ và nghịch biến khi $x<0$

Với $S\le -5$: $g(S) \ge g(-5)=\sqrt{\dfrac{641}{4}}$

Với $S \ge 1$: $g(S) \ge g(1)=\sqrt{\dfrac{17}{4}}$

$\text{min=}\dfrac{\sqrt{17}}{2} \leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[pl09]

Thực sự thì mình không hiểu cách làm xét tính đồng biến nghịch biến của hàm lắm.
:-SS:-SS:-SS

 

[huynhbachkhoa23]

Thực sự thì mình không hiểu cách làm xét tính đồng biến nghịch biến của hàm lắm.
:-SS:-SS:-SS

Cho hàm số $f(x)$ xác định được trên $[a;b]$

Nếu $f(x)$ đồng biến trên $[a;b]$ thì $f(b) \ge f(x) \ge f(a)$

Nếu $f(x)$ nghịch biến trên $[a;b]$ thì $f(a) \ge f(x) \ge f(b)$

 

[eye_smile]

Có: $P=\sqrt{1+a^4}+\sqrt{1+b^4} \ge \sqrt{(1+1)^2+(a^2+b^2)^2}=\sqrt{4+(a^2+b^2)^2}$

Lại có: $(a+1)(b+1)=\dfrac{9}{4}$

\Leftrightarrow $ab+a+b+1=\dfrac{9}{4}$

\Leftrightarrow $ab+a+b=\dfrac{5}{4}$


Có: $a^2+b^2 \ge 2ab$

$2(a^2+b^2) \ge 2(a+b-\dfrac{1}{2})$

\Rightarrow $3(a^2+b^2) \ge 2(ab+a+b-\dfrac{1}{2})=2.\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$

\Leftrightarrow $a^2+b^2 \ge \dfrac{1}{2}$

\Rightarrow $P \ge \sqrt{4+(a^2+b^2)^2} \ge \sqrt{4+(\dfrac{1}{2})^2}=\dfrac{\sqrt{17}}{2}$

Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow $a=b=\dfrac{1}{2}$

p.s:Cái này là theo cách phổ thông)

 

[vuive_yeudoi]

Cho a,b là các số thực thỏa mãn : $(a+1)(b+1)=\frac{9}{4}$
Tìm min của :
$P=\sqrt{1+{{a}^{4}}}+\sqrt{1+{{b}^{4}}}$

Dùng Cauchy Schwarz theo kiểu $ \displaystyle \left( 1+ a^4 \right) \left( 16 + 1 \right) \ge \left( 4+a^2 \right)^2 $ có
$$ P \ge \frac{1}{\sqrt{17}} \left( a^2+b^2+8 \right) $$
Mà theo AM-GM thì
$$ \frac{3}{2} \left( a^2+b^2+8 \right) = \left( a^2+\frac{1}{4} \right) + \left( b^2+\frac{1}{4} \right) + \frac{a^2+b^2}{2}+\frac{23}{2} \ge a+b+ab+1+\frac{21}{2} = \left( a+1 \right) \left( b+1 \right) + \frac{21}{2} =\frac{51}{4} $$
Hay là
$$ a^2+b^2+8 \ge \frac{17}{2} $$
Vậy nên
$$ P \ge \frac{\sqrt{17}}{2} $$
Tại $ \displaystyle a=b=\frac{1}{2} $ thì đẳng thức xảy ra.

Vậy
$$ \min P = \frac{\sqrt{17}}{2}$$