Ứng dụng phân tích đa thức thành nhân tử (baadddt tam giác, số ng tố )

[manhnguyen0164]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác c/m
$P = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 >0$

2) Tìm số tự nhiên n để $Q= n^4 - n^3 - 6n^2 +7n -21$ là số ng tố

3) Tìm bộ ba số nguyên dương x,y,z thõa mãn
$x^3 + y^3 +3xyz - z^3 = (2x + 2y)^2$

4) Tìm các cặp số nguyên x,y thõa mãn
a) $65x^6 - 2x^3y + y^2 -64 = 0$
b) $x^3 - y^3 = 3xy + 1$

 

[xuanquynh97]

1)

$P = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4$

$= 4a^2c^2-(a^4 +b^4 +c^4 - 2a^2b^2+ 2a^2c^2- 2b^2c^2)$

$= 4a^2c^2 - (a^2 -b^2 +c^2)$

$= (2ac+a^2 - b^2+c^2)(2ac - a^2 +b^2 - c^2)$

$= ((a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2)$

$= (a+b+c)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)$

 

[congchuaanhsang]

b) x^3 - y^3 = 3xy + 1

\Leftrightarrow $(x-y)^3+3xy(x-y)=3xy+1$

Đặt $x-y=a$ ; $xy=b$ ($a,b \in Z$)

$a^3+3ab-3b-1=0$

\Leftrightarrow $(a^3-1)+3b(a-1)=0$

\Leftrightarrow $(a-1)(a^2+a+1)+3b(a-1)=0$

\Leftrightarrow $(a-1)(a^2+a+1+3b)=0$

Dễ rồi

 

[hoamattroi_3520725127]

4b) Cách khác : cách này tuy hơi dài nhưng giải được các bài toán tổng quát

Lớp 8 thì chưa dùng Delta nhưng mà hsg thì được dùng. Công thức :
$\Delta = b^2 - 4ac$ với đa thức bậc 2 dạng $ax^2 + bx + c = 0 (a \not= 0)$

Giải:

Đặt $x = y + a (a \in Z)$ (đặt như thế này pt sau khi biến đổi sẽ trở thành pt bậc 2 với biến y, lúc đó dùng Delta giải)

Thay $x = y + a$ vào pt có:

$x^3 - y^3 = 3xy + 1$

$\leftrightarrow (y + a)^3 - y^3 = 3y(y + a) + 1$

$\leftrightarrow ... \leftrightarrow y^2(3a - 3) + y(3a^2 - 3a) + a^3 - 1 = 0$

$\Delta = (3a^2 - 3a)^2 - 4(3a - 3)(a^3 - 1)$

$= - (a^2 + 3a - 2)^2 - 2a^2(a^2 - 7) - 8$

Muốn pt có nghiệm thì $\Delta < 0 \leftrightarrow 2a^2(a^2 - 7) < 0 \leftrightarrow a^2(a^2 - 7) < 0 \leftrightarrow 0 < a < \sqrt{7}$

Vì a nguyên nên $a = 1;2$

Giải pt với a = 1; a = 2.

 

[hoamattroi_3520725127]

2) Tìm số tự nhiên n để Q= n^4 - n^3 - 6n^2 +7n -21 là số ng tố

$Q = n^3(n - 3) + 2n^2(n - 3) + 7(n - 3)$

$Q = (n^3 + 2n^2 + 7)(n - 3)$

Muốn Q là số nguyên tố thì :

1) n - 3 = 1 suy ra n = 4

2) $n^3 + 2n^2 + 7 = 1 \leftrightarrow n^3 + 2n^2 + 6 = 0$

Không có n tự nhiên tm pt

Vậy n = 4.

 

[manhnguyen0164]

1)

$P = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4$

$= 4a^2c^2-(a^4 +b^4 +c^4 - 2a^2b^2+ 2a^2c^2- 2b^2c^2)$

$= 4a^2c^2 - (a^2 -b^2 +c^2)$

$= (2ac+a^2 - b^2+c^2)(2ac - a^2 +b^2 - c^2)$

$= ((a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2)$

$= (a+b+c)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)$

Nếu thay $c^4$ bằng $c^2$ thì có giải được không ?

 

[manhnguyen0164]

1)

$P = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4$

$= 4a^2c^2-(a^4 +b^4 +c^4 - 2a^2b^2+ 2a^2c^2- 2b^2c^2)$

$= 4a^2c^2 - (a^2 -b^2 +c^2)$

$= (2ac+a^2 - b^2+c^2)(2ac - a^2 +b^2 - c^2)$

$= ((a+c)^2-b^2)(b^2-(a-c)^2)$

$= (a+b+c)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)$

Chỗ $= 4a^2c^2-(a^4 +b^4 +c^4 - 2a^2b^2+ 2a^2c^2- 2b^2c^2)$

$= 4a^2c^2 - (a^2 -b^2 +c^2)$ là sao bạn? hình như phải là $= 4a^2c^2 - (a^2 -b^2 +c^2)^2$

 

[manhnguyen0164]

\Leftrightarrow $(x-y)^3+3xy(x-y)=3xy+1$

Đặt $x-y=a$ ; $xy=b$ ($a,b \in Z$)

$a^3+3ab-3b-1=0$

\Leftrightarrow $(a^3-1)+3b(a-1)=0$

\Leftrightarrow $(a-1)(a^2+a+1)+3b(a-1)=0$

\Leftrightarrow $(a-1)(a^2+a+1+3b)=0$

Dễ rồi

Đến đây thì từ a-1 \Rightarrow a=1 rồi...còn cái $a^2+a+1+3=0$ thì tính được không ?

 

[z0987654321]

1) Với a,b,c là độ dài 3 cạnh tam giác c/m
P = 2a^2b^2 + 2b^2c^2 + 2a^2c^2 - a^4 - b^4 - c^4 >0

2) Tìm số tự nhiên n để Q= n^4 - n^3 - 6n^2 +7n -21 là số ng tố

3) Tìm bộ ba số nguyên dương x,y,z thõa mãn
x^3 + y^3 +3xyz - z^3 = (2x + 2y)^2

4) Tìm các cặp số nguyên x,y thõa mãn
a) 65x^6 - 2x^3y + y^2 -64 = 0
b) x^3 - y^3 = 3xy + 1

4a)
ta có : 65x^6 - 2x^3y + y^2 -64 = 0 => (x^3-y) ^2=64(1-x^6)
do (x^3-y) ^2 >= 0 với moij x,y nên 64(1-x^6) >=o =>x^6<=1 mà x thuộc Z nên x^6=0 ;1
với x^6 = 0=> x=0 => y=8 ;-8
với x^6=1=>x=1và y=1 ;x=-1 và y=-1