[Toán 8] Dạng toán áp dụng hằng đẳng thức

[phucbo193]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho 3 số thực a,b,c biết $a+b+c=0$
CMR $(a^2+b^2+c^2)^2 = 2(a^4+b^4+c^4)$

 

[z0987654321]

cho 3 số thực a,b,c biết a+b+c=0
CMR (a^2+b^2+c^2)^2 = 2(a^4+b^4+c^4)

đầu tiên là chứng minh a⁴+ b⁴+ c⁴= 2(a²b² + c²b² + c²a² )
ta có:
a⁴+ b⁴+ c⁴- 2(a²b² + c²b² + c²a² )
= a⁴- 2a²b² + b⁴+ a⁴- 2a²c² + c⁴+ b⁴- 2b²c² + c⁴- a⁴-b⁴-c⁴
= ( a² - b² )² - c⁴+ (a² - c²)² - b⁴+ ( b² - c² )² - a⁴
= (a² - b² - c²)(a² - b² + c²) + (a² - c² - b²)(a² - c² + b²)
+ ( b² - c² - a² )(b² - c² + a² )
= (a - b - c)(a + b - c)(a - b + c)(a + b + c) = 0
=> Đúng h
Sau đo thì ta có pk
(a^2+b^2+c^2)^2=a⁴+ b⁴+ c^4+ 2(a²b² + c²b² + c²a² )
=2( a⁴+ b⁴+ c^4)
=>dpcm

 

[me0kh0ang2000]

Ta có: $a+b+c=0.\ \Rightarrow (a+b+c)^2=0\\
\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=0 \\
\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2=-(2ac+2ab+2bc)\\
\Rightarrow (a^2+b^2+c^2)^2 = (2ac+2ab+2bc)^2\\
\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2=4a^2b^2+4a^2c^2+4b^2c^2+8a^2bc+8ab^2c+8abc^2\\
\Leftrightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2+8abc(a+b+c)\\
\Rightarrow a^4+b^4+c^4=2a^2b^2+2a^2c^2+2b^2c^2$
Do đó: $(a^2+b^2+c^2)^2=a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2a^2c^2+ 2b^2c^2 = 2(a^4+b^4+c^4)$ (đpcm)