Tìm GTNN của biểu thức

[ayen52]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Nhờ các bạn tìm hộ mình giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức sau:
[tex]M = \frac{x+8}{(\sqrt{x}+1)^2}[/tex]

 

[demon311]

Đặt $a=\sqrt{x}(a \ge 0)$
$M=\dfrac{a^2+8}{(a+1)^2} \\
M(a^2+2a+1)=a^2+8 \\
(M-1)a^2+2Ma+M-8=0\\$
Pt có nghiệm $a \ge 0$ khi

$\begin{cases}
\Delta'\ge 0 \\
S \ge 0 \\
P \ge 0 \\
\end{cases}
\leftrightarrow
\begin{cases}
M^2-(M-8)(M-1) \ge 0 \\
\\
\dfrac{2M}{M-1} \ge 0 \\
\\
\\
\dfrac{M-8}{M-1} \ge 0 \\
\end{cases}
\leftrightarrow
\begin{cases}
M \ge \dfrac{9}{8} \\
\\
M > 1; M \le 0 \\
\\
M \ge 8; M<1 \\
\end{cases}
\leftrightarrow
M \ge 8 \\$
$Min M=8$ khi $a=0 => x=0$

$Max M=8$ tại $x=0$

$Min M=\dfrac {8}{9}$ tại $x=64$

 

[huynhbachkhoa23]

Cũng đặt $a=\sqrt{x}$
$M=\dfrac{a^2+8}{a^2+2a+1}$
$\leftrightarrow (M-1)a^2+2Ma+(M-8) = 0$
$\Delta = 4M^2-4(M-8)(M-1)=36M-32 \ge 0$
$\leftrightarrow M \ge \dfrac{8}{9}$
$minM=\dfrac{8}{9} \leftrightarrow a=8 \leftrightarrow x=64$

+ ĐK pt có nghiệm dương
TH1. 2 nghiệm trái dấu
TH2. Cả 2 nghiệm đều dương

 

[ayen52]

Đặt $a=\sqrt{x}(a \ge 0)$
$M=\dfrac{a^2+8}{(a+1)^2} \\
M(a^2+2a+1)=a^2+8 \\
(M-1)a^2+2Ma+M-8=0\\$
Pt có nghiệm $a \ge 0$ khi

$\begin{cases}
\Delta'\ge 0 \\
S \ge 0 \\
P \ge 0 \\
\end{cases}
\leftrightarrow
\begin{cases}
M^2-(M-8)(M-1) \ge 0 \\
\\
\dfrac{2M}{M-1} \ge 0 \\
\\
\\
\dfrac{M-8}{M-1} \ge 0 \\
\end{cases}
\leftrightarrow
\begin{cases}
M \ge \dfrac{9}{8} \\
\\
M > 1; M \le 0 \\
\\
M \ge 8; M<1 \\
\end{cases}
\leftrightarrow
M \ge 8 \\$
$Min M=8$ khi $a=0 => x=0$

$Max M=8$ tại $x=0$

$Min M=\dfrac {8}{9}$ tại $x=64$

Rất cám ơn bạn vì bạn đã giúp tôi giải bài toán này! Tuy vậy tôi vẫn có một băn khoăn là chỗ bạn đặt điều kiện cho pt có nghiệm [tex]a\geq{0}[/tex] chưa được chính xác nhưng hai dòng chữ đỏ cuối bài thì bạn lại cho kết quả đúng. Nếu bạn chữa phần trên cho chính xác thì sẽ không cần thêm vào 2 dòng chữ đỏ ở cuối bài nữa và tôi sẽ không còn gì phải băn khoăn nữa. Một lần nữa cám ơn bạn. Chúc bạn thành công trong cuộc sống.