Toán Khó -HSG

[phuong_july]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a. Tìm các số x,y,z thoả mãn:
$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}=\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}+\dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}+1$
có $y^2+z^2+x^2=12$.
b.Cho các số tự nhiên thoả mãn hệ thức: $2x^2+x=3y^2+y$.
Cm: $2x+2y+1,x-y,3x+3y+1$ là các số chính phương.

 

[thinhrost1]

a. Tìm các số x,y,z thoả mãn:
$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}=\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}+\dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}+1$
có $y^2+z^2+x^2=12$.

$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}=\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}+\dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}+1 \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}-(\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}+\dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}+1)=0$

Áp dụng cauchy bộ 3 số kết hợp với giả thiết ta có:

$\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{z^2}+\dfrac{z^2}{x^2}-(\dfrac{x^2+y^2}{y^2+z^2}+\dfrac{y^2+z^2}{x^2+y^2}+1) \geq 3-3=0$

Nên đẳng thức xảy ra chỉ khi $x=y=z=2$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:
Theo đề ra ta có:
$2x^2+x-2y^2-y=y^2$
\Leftrightarrow $(x-y)(2x+2y+1)=y^2$

$3x^2-3y^2+x-y=x^2$
\Leftrightarrow $(x-y)(3x+3y+1)=x^2$

đến đây dễ rồi )

 

[riverflowsinyou1]

Tham khảo tại http://diendantoanhoc.net/forum/ind...1x-y3x3y1-là-các-số-chính-phương/#entry491978

 

[0973573959thuy]

Bài 2:
Theo đề ra ta có:
$2x^2+x-2y^2-y=y^2$
\Leftrightarrow $(x-y)(2x+2y+1)=y^2$

$3x^2-3y^2+x-y=x^2$
\Leftrightarrow $(x-y)(3x+3y+1)=x^2$

đến đây dễ rồi )

Thực ra đến đấy vẫn còn phải chứng minh thêm ý nữa.

$2x^2 + x = 3y^2 + y$

$\leftrightarrow 2x^2 - 2y^2 + x - y = y^2$

$\leftrightarrow (x - y)(2x + 2y + 1) = y^2$

Gọi d = (x - y; 2x + 2y + 1)

$\rightarrow x - y \vdots d \leftrightarrow 2x - 2y \vdots d$ và $2x + 2y + 1 \vdots d$

$\rightarrow 2x + 2y + 1 - 2x + 2y = 4y + 1 \vdots d$ (1)

Mặt khác lại có $y^2 \vdots d^2 \leftrightarrow y \vdots d$ (2)

Từ (1); (2) $\rightarrow d \in Ư(1)$. Suy ra : x - y và 2x + 2y + 1 nguyên tố cùng nhau có tích là 1 số chính phương nên x - y; 2x + 2y + 1 là số chính phương.

P.s : Hai số nguyên tố cùng nhau có tích là 1 số chính phương thì mỗi thừa số đều là 1 số chính phương.

Tương tự với x - y và 3x + 3y + 1 nhé!