tìm giá trị nhỏ nhất

S

soicon_boy_9x

Đặt $a=\dfrac{y}{z} \ \ \ \ \ b=\dfrac{z}{x} \rightarrow c=\dfrac{x}{y}$

$\rightarrow$ $\dfrac{ab}{2b+c}=\dfrac{y^2}{2zy+x^2} \\ \dfrac{bc}
{2c+a}=\dfrac{z^2}{2xz+y^2} \\ \dfrac{ca}{2a+b}=\dfrac{x^2}{2xy+z^2}$

$\rightarrow P=\dfrac{y^2}{2zy+x^2}+\dfrac{z^2}{2xz+y^2}+
\dfrac{x^2}{2xy+z^2}$

Áp dụng bất đẳng thức $2mn \leq m^2+n^2$ ta có:

$P=\dfrac{y^2}{2zy+x^2}+\dfrac{z^2}{2xz+y^2}+ \dfrac { x^2 } { 2xy+z^2 }
\geq \dfrac{y^2}{z^2+y^2+x^2}+\dfrac{z^2}{x^2+z^2+y^2}+\dfrac{x^2}{x^2+y^2+z^2}=1$

Đẳng thức xảy ra $\leftrightarrow x=y=z \leftrightarrow a=b=c=1$

Vậy $MinP = 1 \leftrightarrow a=b=c=1$


 
Last edited by a moderator:
A

angleofdarkness

Có thể ngắn gọn hơn bằng $p^2$ dùng BĐT Schwarz mà không cần đặt ẩn phụ:

Ta có $\dfrac{ab}{2b+c}=\dfrac{1}{2bc+c^2}$ (do abc = 1)

\Rightarrow $P=\sum \dfrac{ab}{2b+c}=\sum \dfrac{1}{2bc+c^2}$ \geq $\dfrac{9}{\sum (2bc+c^2)}$ (BĐT Schwarz)

Hay $P$ \geq $\dfrac{9}{(a+b+c)^2}$

@congchua: Đến đây rồi sao nữa?

P/S congchua: Biến đổi tiếp bằng BĐT Cauchy hoặc B.C.S
 
Last edited by a moderator:
S

soicon_boy_9x

angleofdarkness said:
Có thể ngắn gọn hơn bằng $p^2$ dùng BĐT Schwarz mà không cần đặt ẩn phụ:

Ta có $\dfrac{ab}{2b+c}=\dfrac{1}{2bc+c^2}$ (do abc = 1)

\Rightarrow $P=\sum \dfrac{ab}{2b+c}=\sum \dfrac{1}{2bc+c^2}$ \geq $\dfrac{9}{\sum (2bc+c^2)}$ (BĐT Schwarz)

Hay $P$ \geq $\dfrac{9}{(a+b+c)^2}$

@congchua: Đến đây rồi sao nữa?

P/S congchua: Biến đổi tiếp bằng BĐT Cauchy hoặc B.C.S
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đến $P \geq \dfrac{9}{(a+b+c)^2} \leq 1$

Ngược dấu nhé

Nếu mà dễ thế thì đặt ẩn phụ làm gì
 
C

congchuaanhsang

Uk
Cho abc=1 nên ý tưởng tự nhiên nhất là ẩn phụ
Làm theo cách angle ngược dấu ở bước cuối
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom