Help me
Để hàm số y= [TEX]x^2-2mx[/TEX] đạt GTLN trên đoạn [0;1] thì m =?
Là biện luận giá trị lớn nhất của hàm số theo [imath]m[/imath] hay tìm [imath]m[/imath] theo đúng nghĩa của đề bài. Nếu theo đúng nghĩa của đề bài thì có thể giải như sau:
Theo
Định lý Weierstrass (Định lý giá trị cực trị):
Nếu một hàm số [imath]f(x)[/imath] liên tục trên một đoạn đóng [imath][a; b][/imath], thì nó luôn bị chặn và đạt được cả giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn đó.
Áp dụng:
Hàm số [imath]y = f(x) = x^2 - 2mx[/imath] là một hàm đa thức bậc hai. Theo tính chất cơ bản của giải tích, mọi hàm đa thức đều liên tục trên toàn bộ tập số thực [imath]\mathbb{R}[/imath]. Do đó, hiển nhiên nó cũng liên tục trên một khoảng hẹp hơn là đoạn [imath][0; 1][/imath] với mọi giá trị của tham số [imath]m[/imath].
Còn nếu biện luận giá trị lớn nhất của hàm số theo [imath]m[/imath] thì như sau:
Xét đồ thị hàm số [imath]y = x^2 - 2mx[/imath]:
- Đây là một parabol có hệ số [imath]a = 1 > 0[/imath], do đó bề lõm của đồ thị luôn hướng lên trên. Vì bề lõm hướng lên, đỉnh của parabol luôn là điểm thấp nhất (cực tiểu).
- Đặc điểm của parabol bề lõm hướng lên là khi xét trên bất kỳ một đoạn [imath][a; b][/imath] nào, Giá trị lớn nhất chắc chắn phải nằm ở một trong hai đầu mút (do đồ thị đi lên vô hạn về hai phía tính từ đỉnh).
Ta tính giá trị hàm số tại hai đầu mút của đoạn [imath][0; 1][/imath]:
- Tại [imath]x = 0[/imath]: [imath]y(0) = 0^2 - 2m \cdot 0 = 0[/imath]
- Tại [imath]x = 1[/imath]: [imath]y(1) = 1^2 - 2m \cdot 1 = 1 - 2m[/imath]
Bởi vì giá trị lớn nhất chỉ có thể rơi vào [imath]x = 0[/imath] hoặc [imath]x = 1[/imath], ta xác định giá trị lớn nhất như sau:
- Nếu [imath]1 - 2m \ge 0 \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}[/imath]: Lúc này [imath]y(1) \ge y(0)[/imath], giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [imath][0; 1][/imath] là [imath]1 - 2m[/imath].
- Nếu [imath]1 - 2m < 0 \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}[/imath]: Lúc này [imath]y(0) > y(1)[/imath], giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [imath][0; 1][/imath] là [imath]0[/imath].
Kết luận: Hàm số luôn có giá trị lớn nhất trên đoạn [imath][0; 1][/imath] được xác định bởi công thức:
[math]GTLN = \max(0, 1 - 2m)[/math]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
