tìm giá trị của biểu thức

[loantran14]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)Cho a,b,c,x,y,z thỏa mãn :
a+b+c=1; a²+b²+c²=1 và x/a=y/b=z/c
CMR: xy+yz+zx=0
2) Cho x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức
x³+y³+xy
3) Cho a+b=6 ; a²+b²=2010 Tính giá trị của biểu thức
M=a³+ b³
4) a+b+c=0
a²+b²+c²=1
Tính giá trị của biểu thức : a⁴+b⁴+c⁴
5) Cho a+b=1.Tìm GTNN của bieủ thức
M= a³+b³
6) Cho. 3a² +3b²=10ab. ;b>a >0.
Tính giá trị của biểu thức M=a-b/a+b

 

[nguyenbahiep1]

2) Cho x+y=1. Tìm GTNN của biểu thức
x³+y³+xy

[laTEX]S = (x+y)((x+y)^2 - 3xy ) = 1 - 3xy \\ \\ ta-co: (x+y)^2 = 1 \geq 4xy \Rightarrow xy \leq \frac{1}{4} \\ \\ S = 1 - 3xy \geq 1 - 3.\frac{1}{4} = \frac{1}{4} \\ \\ dau-bang-xay-ra: x = y = \frac{1}{2}[/laTEX]

 

[vipboycodon]

1a. Ta có : $a^2+b^2+c^2 = 1$
=> $a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 1$
<=> $a^4+b^4+c^4 = 1-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)$ (1)
* Có : $a+b+c = 0$
<=> $a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 0$
<=> $2(ab+bc+ac) = -1$
<=> $ab+bc+ac = -0,5$
<=> $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2a^2bc+2ab^2c+2abc^2 = 0,25$
<=> $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2abc(a+b+c) = 0,25$
<=> $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 = 0,25$
Thay vào (1) ta có :
$a^4+b^4+c^4 = 1-2(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2) = 1-2.0,25 = 0,5$

 

[chonhoi110]

Bài 1 tham khảo nha bạn ~~> Đây

 

[chonhoi110]

Bài 6:
Ta có: $M^2=(\dfrac{a-b}{a+b})^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{3a^2+3b^2-6ab}{3a^2+3b^2+6ab}=\dfrac{10ab-6ab}{10ab+6ab}=\dfrac{4ab}{16ab}=\dfrac{1}{4} \rightarrow M=\dfrac{1}{2}$

 

[chonhoi110]

Sao ko ai xác nhận giùm hết vậy làm xong bài này thì em rút!
Bài 3:
Ta có: $a^2+b^2=2010$
Mặc khác $a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$
$\rightarrow ab=\dfrac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}=\dfrac{6^2-2010}{2}=-987$
$\rightarrow M=a^3+ b^3$
$=(a+b)^3-3ab(a+b)$
$=6^3-3.(-987).6$
$=17982$

 

[thaosabine]

bai 4

a+b+c=0=> (a+b+c)^2=0=> a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)=0
=>2(ab+bc+ac)=-1
=> ab+bc+ac= -1/2
=>(ab+bc+ac)^2=1/4
=> (ab)^2+(bc)^2+(ac)^2+2abc(a+b+c)=1/4
=>a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2=1/4 (vi a+b+c=0)
Ta co:
(a^2+b^2+c^2)^2=1^2=1
=> a^4+b^4+c^4+2(a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2)=1
=> a^4+b^4+c^4+2*1/4=1
=>a^4+b^4+c^4=1/2

 

[0973573959thuy]

Bài 6:
Ta có: $M^2=(\dfrac{a-b}{a+b})^2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{a^2+b^2+2ab}=\dfrac{3a^2+3b^2-6ab}{3a^2+3b^2+6ab}=\dfrac{10ab-6ab}{10ab+6ab}=\dfrac{4ab}{16ab}=\dfrac{1}{4} \rightarrow M=\dfrac{1}{2}$

Bạn làm đúng rồi nhưng mà sai bước cuối cùng nhé!

Do b > a > 0 \Rightarrow a + b > 0 ; a - b < 0 $\rightarrow M < 0 \rightarrow M = \dfrac{-1}{2}$

 

[0973573959thuy]

Em chém típ =))

Bài 2 : cho x + y = 1. Tìm Min $(x^3 + y^3 + xy)$

B.g :

$A = x^3 + y^3 + xy = (x + y)(x^2 + y^2 - xy) + xy = 1.(x^2 + y^2 - xy) + xy = x^2 + y^2$

Theo đề ra có :
x + y = 1 $\rightarrow (x + y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 1$ (1)

Lại có : $(x - y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy$ \geq 0 (2)

Cộng theo vế (1) và (2) ta dc :

$2(x^2 + y^2)$ \geq 1

$\leftrightarrow x^2 + y^2$ \geq $\dfrac{1}{2}$

Min A = $\dfrac{1}{2} \rightarrow x = y = \dfrac{1}{2}$

Bài 5 nốt này

Bài này vận dụng hệ quả của Cauchy, nếu cô chưa dạy thì bao giờ cầm bài ra tớ giảng lại cho nhá!

Ta có : $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b) = a^3 + b^3 + 3ab = 1$

$\rightarrow a^3 + b^3 = 1 - 3ab$

Từ trên suy ra :

$a^3 + b^3 \text{đạt min} \leftrightarrow ab \text{đạt max}$

Do a + b = 1 nên ab đạt max $\leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}$

Khi đó max (ab) = $\dfrac{1}{4} \rightarrow min(a^3 + b^3) = 1 - 3.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{4}$

Vậy $min (a^3 + b^3) = \dfrac{1}{4} \leftrightarrow a = b = \dfrac{1}{2}$

 

[huy14112]

5.

Nếu chưa biết vận dụng Cauchy thì cứ áp dụng cách này mà chém . Đảm bảo thoải mái :

$a+b=1 \rightarrow b=1-a$

$M=a^3+b^3=a^3+(1-a)^3=a^3+1-3a+3a^2-a^3$

$=3a^2-3a+1=3(a^2-a+\dfrac{1}{4})-3. \dfrac{1}{4}+1=3(a-\dfrac{1}{2})^2+\dfrac{1}{4} \ge \dfrac{1}{4} $

Dấu = xảy ra $\leftrightarrow a=b=\dfrac{1}{2}$

 

[huuthuyenrop2]

[laTEX]S = (x+y)((x+y)^2 - 3xy ) = 1 - 3xy \\ \\ ta-co: (x+y)^2 = 1 \geq 4xy \Rightarrow xy \leq \frac{1}{4} \\ \\ S = 1 - 3xy \geq 1 - 3.\frac{1}{4} = \frac{1}{4} \\ \\ dau-bang-xay-ra: x = y = \frac{1}{2}[/laTEX]

Hình như bài thầy sai rồi



$x^3+y^3+xy= (x+y)(x^2-xy+y^2)+xy= x^2+y^2(1)$
Ta có: $x^2-2xy+y^2 \geq 0(2)$
Lấy (1)-(2)
Ta có: $2xy \geq 1$
$\Rightarrow xy\geq 1/2$
$\Rightarrow Min x^3+y^3+xy = 1/2$

 

[buithinhvan77]

Hình như bài thầy sai rồi



$x^3+y^3+xy= (x+y)(x^2-xy+y^2)+xy= x^2+y^2(1)$
Ta có: $x^2-2xy+y^2 \geq 0(2)$
Lấy (1)-(2)
Ta có: $2xy \geq 1$
$\Rightarrow xy\geq 1/2$
$\Rightarrow Min x^3+y^3+xy = 1/2$

Ui vậy có nghĩa là (1) <=> [TEX]x^2 + y^2 = 1[/TEX] hay sao mà (1) - (2) lại <=> [TEX]2xy \geq 1 [/TEX] ????

 

[popstar1102]

bài 2


ta có $x^3+y^3+xy=(x+y)(x^2+y^2-xy)+xy=x^2+y^2$

gt \Rightarrow $(x+y)^2$\geq 1\Leftrightarrow $x^2+2xy+y^2$\geq 1 (*)

ta có $(x-y)^2$\geq 0\Leftrightarrow $x^2-2xy+y^2$\geq 0 (**)

từ (*),(**) \Rightarrow cộng vế theo vế ta được

$2(x^2+y^2)$\geq 1 \Rightarrow $x^2+y^2$\geq $\frac{1}{2}$

vậy GTNN là $\frac{1}{2}$ \Leftrightarrow x=y=$\frac{1}{2}$