có bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau sao cho 345 đi liền nhau
Số cần tìm có [imath]6[/imath] chữ số khác nhau, dạng tổng quát là [imath]\overline{abcdef}[/imath] (trong đó [imath]a \neq 0[/imath]).
Tập hợp các chữ số có thể sử dụng là từ [imath]0[/imath] đến [imath]9[/imath]: [imath]\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}[/imath].
Vì cụm
"[imath]345[/imath]" đi liền nhau theo đúng thứ tự, ta sẽ "buộc" [imath]3[/imath] chữ số này lại thành một cụm, gọi là [imath]X[/imath] ([imath]X = 345[/imath]).
Số có [imath]6[/imath] chữ số ban đầu bây giờ sẽ được tạo thành từ [imath]X[/imath] và [imath]3[/imath] chữ số đơn lẻ khác.
Số "vị trí" cần sắp xếp bây giờ là [imath]4[/imath] (gồm [imath]1[/imath] vị trí của [imath]X[/imath] và [imath]3[/imath] vị trí của các chữ số đơn lẻ).
Vì ta đã dùng [imath]3, 4, 5[/imath] cho [imath]X[/imath], nên tập hợp các chữ số đơn lẻ còn lại [imath]7[/imath] chữ số: [imath]\{0, 1, 2, 6, 7, 8, 9\}[/imath].
Trường hợp: Chọn [imath]a[/imath] bất kỳ
- Ta chọn [imath]3[/imath] chữ số từ tập [imath]7[/imath] chữ số còn lại: có [imath]C_7^3[/imath] cách.
- Xếp [imath]X[/imath] và [imath]3[/imath] chữ số vừa chọn thành một hàng ngang (hoán vị [imath]4[/imath] phần tử): có [imath]4![/imath] cách.
- Tổng số cách xếp là:
[math]C_7^3 \times 4! = 35 \times 24 = 840 \text{ (cách)}[/math]
Trường hợp: Chọn [imath]a=0[/imath]
Nếu chữ số [imath]0[/imath] đứng đầu, ta sẽ cố định số [imath]0[/imath] ở vị trí đầu tiên. Khi đó, ta chỉ còn lại [imath]3[/imath] "vị trí" để sắp xếp [imath]X[/imath] và [imath]2[/imath] chữ số đơn lẻ.
- Chọn [imath]2[/imath] chữ số từ [imath]6[/imath] chữ số còn lại (đã trừ số [imath]0[/imath] và các số [imath]3, 4, 5[/imath]): có [imath]C_6^2[/imath] cách.
- Hoán vị [imath]X[/imath] và [imath]2[/imath] chữ số vừa chọn (hoán vị [imath]3[/imath] phần tử): có [imath]3![/imath] cách.
- Số trường hợp chữ số [imath]0[/imath] đứng đầu là:
[math]C_6^2 \times 3! = 15 \times 6 = 90 \text{ (cách)}[/math]
Số lượng số có 6 chữ số khác nhau thỏa mãn điều kiện đề bài là:
[math]840 - 90 = 750 \text{ (số)}[/math]
Chú ý [imath]:[/imath]
Bài giải trên được tính với giả định đề là cụm "[imath]345[/imath]" xuất hiện theo đúng thứ tự [imath]3-4-5[/imath]. Nếu đề bài mang ý nghĩa là "[imath]3[/imath] chữ số [imath]3, 4, 5[/imath] đứng cạnh nhau nhưng
không phân biệt thứ tự" (ví dụ: [imath]543[/imath], [imath]354[/imath], [imath]\cdots[/imath] cũng hợp lệ), thì kết quả trên nhân với số cách hoán vị của [imath]3[/imath] chữ số [imath]3, 4, 5[/imath] ([imath]3! = 6[/imath]), khi đó đáp án sẽ là [imath]750 \times 6 = 4500[/imath] số.
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
