Một số bài toán ôn thi lớp 10

[tienlamdn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chào các thầy/cô/anh/chị,

Em là thành viên mới tham gia diễn đàn này, rất mong mọi người sẽ giúp đỡ & hướng dẫn tận tình.

Đây là Topic em sẽ post các bài toán nhỏ mà em đã lọc ra trong số 75 bài toán mà em đã làm để ôn thi lớp 10. Những bài toán mà em post dưới đây đa phần đều chưa nắm rõ, hiểu kỹ, hay chưa biét phương pháp để làm. Em mong các thầy/cô/anh/chị sẽ nhiệt tình giúp đỡ em. Em xin cảm ơn trước!


Bên dưới gồm có 12 bài toán con. Chỉ còn đúng 1 tuần nữa thôi em sẽ bước vào kỳ thi quan trọng này, nên em hi vọng mỗi người sẽ cùng giúp em hoàn thành hết những bài toán này. Các bạn khác nếu cũng đang ôn thi lớp 10 thì cũng có thể tham khảo thêm những bài toán này luôn, cùng giúp đỡ nhau nhé.


- - - - - - - - - - - - - -

Câu 1. Cho phương trình: (m-2)x^2 - 2(m-1)x + m-3 = 0
Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.

Câu 2. Cho đường thẳng (d): y = (m-2)x + 2.
a/ Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m.
b/ Tính m để khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến (d) bằng 1.

Câu 3. Cho Parabol (P): y = 0,5x^2 và đường thẳng y = ax + b (a khác 0).
Xác định các hệ số a,b của đường thẳng đó để nó đi qua điểm (1;0) và tiếp xúc với (P).

Câu 4. Cho Parabol (P): y = -x^2.
Viết phương trình đường thẳng (d), biết nó cắt (P) tại điểm A có hoành độ 1 và qua điểm B(3;1).

Câu 5. Cho Phương trình: x^2 - 2(m-2)x - 4m = 0.
a/ Chứng minh PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b/ Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm x1,x2 độc lập với m.

Câu 6. Cho hàm số y = ax^2 có đồ thị là (d). Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc là m và qua điểm (1;0).

Câu 7. Parabol: y = ax^2. Cho A(0;3). Tìm trên (P) điểm B sao cho AB có độ dài ngắn nhất.

Câu 8. Cho PT: x^2 - 2(m+1)x + m-4 = 0 (1).
Gọi x1,x2 là nghiệm của PT(1). Tính giá trị nhỏ nhất của M = (x1^2 - x2^2) : [ x1(1 - x2) + x2(1-x1)].

Câu 9. Cho 2 đường thẳng: y = -x + (m+1) (1) và y = (2m-1)x +1 (2).
Tính m để 2 đường thẳng (1) và (2) cắt nhau tại 1 điểm trên Parabol y = x^2.

Câu 10. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(1;1) và B(2;0) và đồ thị (P) của hàm số: y = -x^2.
Gọi (d) là đường thẳng đi qua B và song song với đường thẳng OA. Chứng minh đường thẳng (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt C và D.

Câu 11. Cho đường thẳng (D): y = mx + 1.
Xác định điểm M trên đường thẳng (D) sao cho đoạn thẳng OM (O là gốc tọa độ) có độ dài không đổi, khi m thay đổi. Tính độ dài OM.

Câu 12. Cho P = (x^2 - căn x) / (x + căn x + 1) với x \geq 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.



Câu hỏi ngoại lệ: Các thầy/cô/anh/chị cho em hỏi luôn là: Nếu đề bài người ta cho hệ số góc thì mình phải thay vào đâu trong y = ax + b để tính? Dạng này em thường gặp trong các bài toán lập phương trình đường thẳng ạ.

Em mong các thầy/cô/anh/chị ráng giúp em với ạ.

Đây là lần đầu tiên em tham gia diễn đàn nên chưa biết gõ ký tự toán học. Mong MODs và ADs sẽ không xóa bài của em.

Em xin cảm ơn rất nhiều!

 

[nguyenbahiep1]

Câu 1. Cho phương trình: (m-2)x^2 - 2(m-1)x + m-3 = 0
Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.ư

em có thể giải theo hướng sau

[laTEX]dk: m \not = 2 \\ \\ \Delta' = (m-1)^2 -(m-2)(m-3) = 3m-5 > 0 \Rightarrow m > \frac{5}{3} \\ \\ x_1+x_2 = \frac{2m-2}{m-2} = 2 + \frac{2}{m-2} \\ \\ x_1x_2 = \frac{m-3}{m-2} = 1 - \frac{1}{m-2} \Rightarrow 2x_1.x_2 = 2 - \frac{2}{m-2} \\ \\ x_1+x_2 + 2x_1.x_2 = 4[/laTEX]

 

[nguyenbahiep1]

Câu hỏi ngoại lệ: Các thầy/cô/anh/chị cho em hỏi luôn là: Nếu đề bài người ta cho hệ số góc thì mình phải thay vào đâu trong y = ax + b để tính? Dạng này em thường gặp trong các bài toán lập phương trình đường thẳng ạ.

Em mong các thầy/cô/anh/chị ráng giúp em với ạ.

Hệ số góc là a

[TEX] a = tan (\alpha)[/TEX]

[TEX]\alpha[/TEX] là góc tạo bởi đường thẳng và chiều dương của trục hoành

 

[nguyenbahiep1]

Câu 2. Cho đường thẳng (d): y = (m-2)x + 2.
a/ Chứng minh đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định với mọi giá trị của m.
b/ Tính m để khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến (d) bằng 1.

câu a

gọi điểm cố đinh là M

[laTEX]M(x_0,y_0) \\ \\ y_0 = mx_0 -2x_0 +2 \\ \\ y_0-2+2x_0 = m.x_0 \\ \\ \begin{cases} x_0 = 0 \\ y_0 +2x_0 -2 = 0 \end{cases} \\ \\ x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = 2\\ \\ M(0,2) [/laTEX]

câu b

Giao điểm của (d) với hai trục Ox ,oy là A và B tam giác ABO là tam giác vuông với đường cao là OH . OH chính là khoảng cách từ O đến (d)

[laTEX]A (0,2) \Rightarrow OA = 2 \\ \\ B(\frac{-2}{m-2} , 0 ) \Rightarrow OB = \frac{2}{|m-2|} \\ \\ OH = \frac{OA.OB}{\sqrt{OA^2+OB^2}} = 1 \\ \\ \frac{|2|}{\sqrt{(m-2)^2+1}} = 1 \\ \\ (m-2)^2 +1 = 4 \Rightarrow m = \pm \sqrt{3} +2[/laTEX]

 

[huongmot]

@a.Hiệp: câu trên đoạn cuối là $(m-2)^2$ chứ không phải $(m-1)^2$ ạ

Câu 3. Cho Parabol (P): y = 0,5x^2 và đường thẳng y = ax + b (a khác 0).
Xác định các hệ số a,b của đường thẳng đó để nó đi qua điểm (1;0) và tiếp xúc với (P).

Đường thẳng (d) đi qua điểm (1;0)
\Rightarrow $ x= 1; y =0$
Thay vào (d)
\Rightarrow $ a+b =0$
\Rightarrow $a= -b$
\Rightarrow $(d): y = ax-a$
Xét pt hoành độ giao điểm
$\dfrac{1}{2}x^2= ax-a$
\Rightarrow $x^2 -2ax +2a= 0$
$\triangle= 4a^2- 8a= 0$
\Rightarrow $ 4a(a-2)= 0$
\Rightarrow $a= 0$ hoặc $a= 2$
Vậy...

 

[lanhnevergivesup]

[TEX]f[/TEX]Câu 4. Cho Parabol (P): y = -x^2.
Viết phương trình đường thẳng (d), biết nó cắt (P) tại điểm A có hoành độ 1 và qua điểm B(3;1).

Câu 5. Cho Phương trình: x^2 - 2(m-2)x - 4m = 0.
a/ Phương trình luôn có nghiện với mọi m
b/ Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm x1,x2 độc lập với m.

Câu 4 : phương trình đường thẳng (d) có dạng y=ax+b
(d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ 1 => -1 =a+b (1)
(d) qua điểm B(3;1). => 1=3a+b (2)
giải hệ (1) và (2) ta được a=1 ;b=-2

Vậy phương trình đường thẳng (d) y=x-2

Câu 5 a) đen ta ' = [- (m-2)]^2 - (-4m).1 = m^2 -4m +4 +4m =m^2+4>0 \forallm
=>Phương trình luôn có nghiện với mọi m.
b) ta có x1+x2 = 2(m-2)=> 2X1+2X2=4(m-2)
x1.x2= -4m
cộng vế theo vế ta có 2X1+2X2 +x1.x2 = -8

 

[tienlamdn]

Dạ em cảm ơn anh nhiều!

Anh có thể giúp em một số bài tập tiếp theo được không ah?

 

[nguyenbahiep1]

Anh ơi ở chỗ (2m - 2) / (m - 2) = 2 + (2)/(m - 2) mà lại không phải là 2 - (2)/(m - 2) vậy anh?

quy đồng lên thì biết ngay thôi em

[laTEX]2 +\frac{2}{m-2} = \frac{2m-4+2}{m-2} = \frac{2m-2}{m-2}[/laTEX]

còn như của em

[laTEX]2 -\frac{2}{m-2} = \frac{2m-4-2}{m-2} = \frac{2m-6}{m-2}[/laTEX]

 

[tienlamdn]

[TEX]f[/TEX]Câu 4. Cho Parabol (P): y = -x^2.
Viết phương trình đường thẳng (d), biết nó cắt (P) tại điểm A có hoành độ 1 và qua điểm B(3;1).

Câu 5. Cho Phương trình: x^2 - 2(m-2)x - 4m = 0.
a/ Phương trình luôn có nghiện với mọi m
b/ Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm x1,x2 độc lập với m.

Câu 4 : phương trình đường thẳng (d) có dạng y=ax+b
(d) cắt (P) tại điểm A có hoành độ 1 => -1 =a+b (1)
(d) qua điểm B(3;1). => 1=3a+b (2)
giải hệ (1) và (2) ta được a=1 ;b=-2

Vậy phương trình đường thẳng (d) y=x-2

Câu 5 a) đen ta ' = [- (m-2)]^2 - (-4m).1 = m^2 -4m +4 +4m =m^2+4>0 \forallm
=>Phương trình luôn có nghiện với mọi m.
b) ta có x1+x2 = 2(m-2)=> 2X1+2X2=4(m-2)
x1.x2= -4m
cộng vế theo vế ta có 2X1+2X2 +x1.x2 = -8

Câu 4 em có thể thay x = 1 vào phương trình y = -x^2 để tìm ra y= -1, sau đó thay vào y = ax+b ta được -1 = a + b rồi kết hợp với phương trình (2) bên trên để giải ra cũng được đúng không anh?

Còn ở câu 5.
Câu 5 a) đen ta ' = [- (m-2)]^2 - (-4m).1 = m^2 -4m +4 +4m =m^2+4>0 \forallm
=>Phương trình luôn có nghiện với mọi m.
Ở chỗ bôi đỏ có cần phải phân tích hay nói rõ ra hơn không anh? Đơn giản như thế thì làm bài thi có bị trừ điểm không ah?

 

[nguyenbahiep1]

Câu 12. Cho P = (x^2 - căn x) / (x + căn x + 1) với x 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

[laTEX]P = \frac{\sqrt{x}( x\sqrt{x} -1)}{x+\sqrt{x}+1} = x -\sqrt{x} \\ \\ P = (\sqrt{x}-\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} \geq -\frac{1}{4} \\ \\ Min_P = -\frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{4}[/laTEX]

 

[tienlamdn]

Câu 1. Cho phương trình: (m-2)x^2 - 2(m-1)x + m-3 = 0
Tìm hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m.ư

em có thể giải theo hướng sau

...

Anh ơi ở chỗ x1.x2 = (m-3) / (m-2) sao anh phân tích ra được là 1 - (1) / (m-2) vậy ah? Em lại phân tích ra là: 1 + (3)/(m-2) , và tại sao ở sau đó anh suy ra 2.x1x2 để làm gì vậy anh?

Anh bày em phương pháp để phân tích ra ở chỗ đó luôn anh nhé. Em chưa vững chỗ đó lắm ạh.

Hi vọng anh giải đáp giúp em ạh. :

 

[nguyenbahiep1]

Anh ơi ở chỗ x1.x2 = (m-3) / (m-2) sao anh phân tích ra được là 1 - (1) / (m-2) vậy ah? Em lại phân tích ra là: 1 + (3)/(m-2) , và tại sao ở sau đó anh suy ra 2.x1x2 để làm gì vậy anh?

Anh bày em phương pháp để phân tích ra ở chỗ đó luôn anh nhé. Em chưa vững chỗ đó lắm ạh.

Hi vọng anh giải đáp giúp em ạh. :

em quy đồng lên là biết em đã phân tích sai phải không nào

cách phân tích cũng ko phức tạp lắm

[TEX]\frac{m-3 }{m-2} = \frac{(m-2) - 1}{m-2} = 1 - \frac{1}{m-2}[/TEX]

ta lấy [TEX]2x_1x_2[/TEX] để chút nữa cộng với [TEX]x_1+x_2[/TEX] sẽ mất tham số m

 

[tienlamdn]

Anh Hiệp ơi, bài toán Tìm hệ thức độc lập với m còn cách nào khác dễ hiểu hơn không anh? @-)

 

[nguyenbahiep1]

Anh Hiệp ơi, bài toán Tìm hệ thức độc lập với m còn cách nào khác dễ hiểu hơn không anh? @-)

việc tìm hệ thức độc lập thức chất chỉ là việc biểu diễn tổng tích của x_1 và x_2 làm sao cho các biểu thức đó không còn m

có rất nhiều đáp án có thể chấp nhận được trong bài tập này, tuy nhiên theo ý kiên chủ quan cách trên là ngắn gọn hơn cả rồi đó em

 

[tienlamdn]

việc tìm hệ thức độc lập thức chất chỉ là việc biểu diễn tổng tích của x_1 và x_2 làm sao cho các biểu thức đó không còn m

có rất nhiều đáp án có thể chấp nhận được trong bài tập này, tuy nhiên theo ý kiên chủ quan cách trên là ngắn gọn hơn cả rồi đó em

Dạ câu đó em có thể làm như vậy được không anh?

S = 2(m-1) / m -2 = 2m - 2 / m - 2 = 2 + (2 / m-2). (1)
P = m - 3 / m - 2 = 1 - (1 / m-2). (2)

Từ (1) và (2) ta có HPT:
S = 2 + (2 / m-2) và P = 1 - (1/m-2).
<=> (2m - 3 / m - 2) + (2 / m - 2) và P = (m - 2/m - 2) - (1 / m - 2)
<=> S = 2m - 4 + 2 và P = m - 2 - 1
<=> S = 2m - 4 + 2 và P = 2m - 4 - 2
<=> S - P = 2m - 4 + 2 - (2m - 4 - 2)
= 2m - 4 + 2 - 2m + 4 + 2
= 4
<=> x1 + x2 - x1x2 = 4

P.S: Cách của em là phân tích ra giống như anh, sau đó quy đồng rồi khử mẫu, sau đó trừ P cho S thì mất m.

Hoặc cách nữa gọn hơn là:

Ta có HPT:
S = (2m-2)(m-3) và P = (m-3)/(m-2)
=> S = 2m-2 và P = m-3 (khử mẫu).
Nhân P với 2 ta được P = 2m-6.
=> S-P = 2m - 2 - (2m - 6) = 2m - 2 - 2m + 6 = 4.
Vậy x1 + x2 - x1x2 = 4.
P.S: Còn cách này là khử mẫu, sau đó nhân P với 2. Rồi S-P mất m.

Như vậy có đúng không anh? Nếu các bài khác em có thể áp dụng phương pháp này không ah?

Phiền anh có thể giúp em tiếp các bài tập trên được không ah?
Em cảm ơn anh nhiều

 

[tienlamdn]

Câu 12. Cho P = (x^2 - căn x) / (x + căn x + 1) với x 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

...

Cảm ơn anh ah.

Anh có thể giải thích luôn cho em cái đoạn căn x(x căn x -1) / (x + căn x + 1) lại bằng x - căn x được không anh? (Ý em là cách làm như thế nào ấy).

Sau khi giải xong bài trên thì có câu kết luận gì không anh?

 

[nguyenbahiep1]

Cảm ơn anh ah.

Anh có thể giải thích luôn cho em cái đoạn căn x(x căn x -1) / (x + căn x + 1) lại bằng x - căn x được không anh? (Ý em là cách làm như thế nào ấy).

Sau khi giải xong bài trên thì có câu kết luận gì không anh?

[laTEX]\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}^3-1^3)}{x+\sqrt{x}+1} \\ \\ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)[/laTEX]

 

[tienlamdn]

[laTEX]\frac{\sqrt{x}(x\sqrt{x}-1)}{x+\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}^3-1^3)}{x+\sqrt{x}+1} \\ \\ \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)(x+\sqrt{x}+1)}{x+\sqrt{x}+1} = \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)[/laTEX]

Cảm ơn anh nhiều
Anh xem post trước đó của em luôn ạh, em có post cách giải bài 1, theo anh thì như vậy có đúng không?

Edit:

Anh cho em hỏi thêm luôn bài này ah: Tìm GTNN của [TEX]x^2 + 3x + 1[/TEX] (đây là bài toán em lấy trên mạng).

Người ta phân tích nó ra như thế này: x^2 + 2.x.3/2 + 1/4 + 3/4 (Bước 1) = (x+1)^2 + 3/4
Còn em thì phân tích là: x^2 + 2.x.3/2 + (3/2)^2 - 9/4 + 1 (Bước 1) = (x + 3/2)^2 - 9/4 + 1

Mặc dù ở "Bước 1", khi em phân tích ra như vậy, sau đó nhân chia cộng trừ lại vẫn bằng biểu thức ban đầu. Và cách của người ta làm cũng vậy, nói chung cả cách khi thử lại đều bằng với biểu thức ban đầu. Nhưng khi tìm GTNN lại ra kết quả khác?

 

[nguyenbahiep1]

Cảm ơn anh nhiều
Anh xem post trước đó của em luôn ạh, em có post cách giải bài 1, theo anh thì như vậy có đúng không?

Edit:

Anh cho em hỏi thêm luôn bài này ah: Tìm GTNN của [TEX]x^2 + 3x + 1[/TEX] (đây là bài toán em lấy trên mạng).

Người ta phân tích nó ra như thế này: [TEX]x^2 + 2.x.\frac{3}{2} + 1/4 + 3/4 (Bước 1)[/TEX] = [TEX](x+1)^2 + 3/4 \geq 3/4[/TEX]
Còn em thì phân tích là: [TEX]x^2 + 2.x.3/2 + (3/2)^2 - 9/4 + 1 (Bước 1)[/TEX] = [TEX](x + 3/2)^2 - 9/4 + 1[/TEX]

Mặc dù ở "Bước 1", khi em phân tích ra như vậy, sau đó nhân chia cộng trừ lại vẫn bằng biểu thức ban đầu. Và cách của người ta làm cũng vậy, nói chung cả cách khi thử lại đều bằng với biểu thức ban đầu. Nhưng khi tìm GTNN lại ra kết quả khác?

có thể là người giải nhầm lẫn thôi

đề phải là

[laTEX]x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}[/laTEX]

còn đề như trên thì làm như em là phân tích đúng rồi

 

[tienlamdn]

có thể là người giải nhầm lẫn thôi

đề phải là

[laTEX]x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}[/laTEX]

còn đề như trên thì làm như em là phân tích đúng rồi

Dạ, vậy GTNN của biểu thức [TEX]x^2 + 3x + 1[/TEX] là -5/4 khi x = -3/2 đúng không anh?

Và để biết chắc chắn kết quả mình đã làm đúng bài này hay chưa thì mình có cách thử lại nào không anh?

Em cảm ơn anh nhiều!