Chứng minh hệ thức $\frac{1}{AB^2} = \frac{1}{AE^2}+ \frac{1}{AF^2}$

[vietanb2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ 1 đường thẳng cắt BC tại E và cắt CD tại F.
CMR: $\frac{1}{AB^2} = \frac{1}{AE^2}+ \frac{1}{AF^2}$

 

[pe_lun_hp]

Có : $AE = \sqrt{x^2 + y^2}$

Dễ thấy $\Delta{ABE} \sim \Delta{FCE}$

Tỉ số đồng dạng :

$\dfrac{FE}{AE} = \dfrac{CE}{BE} = \dfrac{x-y}{y}$

\Rightarrow $FE = \dfrac{x-y}{y}.AE =\dfrac{x-y}{y}. \sqrt{x^2 + y^2}$

Có : $AF = AE + EF = \sqrt{x^2 + y^2} + \dfrac{x-y}{y}. \sqrt{x^2 + y^2} = \dfrac{x}{y}. \sqrt{x^2 + y^2}$

\Rightarrow $AF^2 = \dfrac{x^2}{y^2}.(x^2+y^2)$

\Rightarrow $\dfrac{1}{AE^2} + \dfrac{1}{AF^2} = \dfrac{1}{x^2 + y^2} + \dfrac{1}{ \dfrac{x^2}{y^2}.(x^2+y^2)} = \dfrac{1}{x^2} = \dfrac{1}{AB^2}$

\Rightarrow đpcm

 

[1um1nhemtho1]

Cách 2:

Anh mượn tạm hình vẽ của em nhé Pe_lun_hp ). Còn vẽ thêm chắc bạn tự vẽ nhé ).

bài này nếu vẽ thêm thì chứng minh dễ dàng hơn ( theo hệ thức lượng trong chương trình lớp 9).

Vẽ $AT \perp AF$ ($T$ nằm trên đường thẳng $CD$)

lúc đó theo hệ thức lượng có:

$\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AT^2}+\frac{1}{AF^2}$
lại chứng minh được $AT=AE$ ( xét 2 tam giác bằng nhau) và lại có $AB=AD$ nên
$\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}$

 

[c2nghiahoalgbg]

Em nghĩ bài này còn phải xét trường hợp đg thẳng đi qua A ko cắt hình vuông nữa nhỉ...