Các bài toán nâng cao

[ducpro98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho a^2(b+c) +b^2(a+c) +c^2(a+b) là số nguyên tố
2 Giải hệ phương trình:
x^3 + 2xy=-5
và
y^3+xy=6
3. CHo tam giác ABC có 3 góc nhọn. Biết D là trực tâm cảu tam giác ABC. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DBC, gọi J là tâm đường tòn ngoại tiếp tam giác DCA.
a) CM: tam giác CIJ là tam giác cân.
b) CM: IJ=AB.
4. Trên các cạnh của tam giác ABC ta dựng ra phía ngoài các tam giác đều ABM, BCN, CAD. CMR: Tam giác MNP là tam giác đều có cùng trọng tâm với tam giác ABC.
5.Cho hình bình hành ABCD. TRên BD lấy điểm E, gọi F là điểm đối xứng với C qua E. Qua F kẻ Fx song song với AD, Fy song song với AB; Fx cắt AB tại I; Fy cắt AD tại K. Chứng minh:
I, K, E thẳng hàng

 

[icy_tears]

Bài 3:

1, $\widehat{DAC} = \widehat{DBC}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$)

\Rightarrow $\widehat{DJC} = \widehat{DIC}$

($2. \widehat{DAC} = 2 . \widehat{DBC}$)

\Rightarrow $\widehat{JDC} = \widehat{IDC} = \widehat{JCD} = \widehat{ICD}$

\Rightarrow Tam giác JCD = tam giác ICD (g.c.g)

\Rightarrow JC = IC


2, Nối A với I.

Do tam giác CIJ cân tại C mà CD là tia phân giác nên CD vuông góc với IJ

Mà CD vuông góc với AB

\Rightarrow AB // IJ

Mà AJ = BI (= CI)

Nên Tam giác ABI = tam giác IJA ( c.g.c )

\Rightarrow AB = IJ


P.s: Bài 4 có nhầm đề k bạn?

 

[flames.of.desire]

Bài 2:
Cộng (1) và (2), ta có: [TEX]x^3+y^3+3xy=1[/TEX]\Leftrightarrow[TEX](x+y)(x^2-xy+y^2)+3xy=1[/TEX]\Leftrightarrow[TEX](x+y)[(x+y)^2-2xy-xy]+3xy=1[/TEX] Đặt x+y=u, xy=v được: [TEX]u(u^2-3v)+3v-1=0[/TEX] \Leftrightarrow[TEX]u^2-3uv+3v-1=0[/TEX] \Leftrightarrow[TEX](u-1)(u^2+u+1-3v)=0[/TEX] \Leftrightarrow u-1=0(3) hoặc [TEX]u^2+u-3v+1=0(4)[/TEX] Từ (3) \Rightarrow u=1 thế vào (4) \Rightarrow 3-3v=0\Leftrightarrow v=1
\Rightarrow x+y=1 và xy=1 . x, y là 2 nghiệm của pt [TEX]x^2-x+1=0[/TEX] pt vô nghiệm \Rightarrow Hệ pt vô nghiệm


Không biết có sai bước nào không mà kết quả :-SS:-SS vô nghiệm mọi người xem giúp mình nha!!!!!!!!!

 

[ducpro98]

Bài này ko vô nghiệm đâu. Nhưng mìh cảm ơn đã giải giùm mìh TKS ................................

 

[1um1nhemtho1]

Bài 2:
Cộng (1) và (2), ta có: [TEX]x^3+y^3+3xy=1[/TEX]\Leftrightarrow[TEX](x+y)(x^2-xy+y^2)+3xy=1[/TEX]\Leftrightarrow[TEX](x+y)[(x+y)^2-2xy-xy]+3xy=1[/TEX] Đặt x+y=u, xy=v được:[TEX]u(u^2-3v)+3v-1=0[/TEX] \Leftrightarrow[TEX]u^2-3uv+3v-1=0[/TEX] \Leftrightarrow[TEX](u-1)(u^2+u+1-3v)=0[/TEX] \Leftrightarrow u-1=0(3) hoặc [TEX]u^2+u-3v+1=0(4)[/TEX] Từ (3) \Rightarrow u=1 thế vào (4) \Rightarrow 3-3v=0\Leftrightarrow v=1
\Rightarrow x+y=1 và xy=1 . x, y là 2 nghiệm của pt [TEX]x^2-x+1=0[/TEX] pt vô nghiệm \Rightarrow Hệ pt vô nghiệm


Không biết có sai bước nào không mà kết quả :-SS:-SS vô nghiệm mọi người xem giúp mình nha!!!!!!!!!

-cái đoạn mình bôi xanh ấy bạn. vì $(3)$ và $(4)$ có thể không xảy ra đồng thời nên từ $(3)$ thay vào $(4)$ là không hợp lí , phải thay vào đâu bài bạn àh.

$(u-1)(u^2+u+1-3v)=0$

-đầu tiên ta chứng minh với $u^2+u+1=3v$ thì vô nghiệm
\Leftrightarrow $(x+y)^2 +(x+y)+1= 3xy$
\Leftrightarrow $x^2-xy+y^2+ x+y+1=0$
\Leftrightarrow $2(x-y)^2 + 2(x+1)^2+2(y+1)^2=0$
\Rightarrow không có x,y thỏa mãn.

- rồi tới $u=1$ \Leftrightarrow $x+y=1$ \Leftrightarrow $x=1-y$
thay $x=1-y$ vào PT $y^3+xy=6$ ta có:
$y^3-y^2+y-6=0$
\Leftrightarrow $(y-2)(y^2+y^2+3)=0$
\Rightarrow$ y=2$ \Rightarrow $x=-1$
vậy nghiệm là $x=-1, y=2$

 

[1um1nhemtho1]

1. Tìm các số tự nhiên a, b, c sao cho $a^2(b+c) +b^2(a+c) +c^2(a+b)$ là số nguyên tố

Bài 1: nhận thấy $a^2(b+c) +b^2(a+c) +c^2(a+b)$ $\ge 6 > 2$ ( vì $a,b,c$ tự nhiên)

$a^2(b+c) +b^2(a+c) +c^2(a+b) = (a+b)(b+c)(a+c) -2abc$

giờ ra chứng minh trong $3$ số $a+b$ và $b+c$ và $a+c$ ít nhất có $1$ số chẵn.

giả sử 3 số $a+b$ và $b+c$ và $a+c$ đều lẻ:
tức là ta có: $(a+b) - (a+c) \vdots 2$
\Leftrightarrow $b-c \vdots 2$
lại có $(b+c) + (b-c) = 2b \vdots 2$
nên $b-c \vdots 2$ \Rightarrow $b+c \vdots 2$ (trái với giả sử $b+c$ là số lẻ)

vậy tức là trong $3$ số $a+b$ và $b+c$ và $a+c$ ít nhất có $1$ số chẵn
tức là $(a+b)(b+c)(a+c) \vdots 2$
\Rightarrow $a^2(b+c) +b^2(a+c) +c^2(a+b) = (a+b)(b+c)(a+c) -2abc$ $\vdots 2$
mà $a^2(b+c) +b^2(a+c) +c^2(a+b) > 2$ nên $a^2(b+c) +b^2(a+c) +c^2(a+b)$ là hợp số. Tức là không tồn tại $a,b,c$ thỏa mãn đề bài

 

[ducpro98]

Bài này mìh tìm dc cặp (a,b,c) là (0,1,1) và các hoán vị bạn ạ. Có lẽ bạn sai ở đâu rồi. Cảm ơn bạn đã giúp mìh.