$3x+ \dfrac{x}{a} - \dfrac{3a}{a+1} = 4ax + \dfrac{ (2a + 1)x}{ a(a+1)^2} - \dfrac{3a^2}{ (a+1)^3}$

[eunhyuk_0330]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh rằng:
$\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}$
2. Giải phương trình với tham số a:
$3x+ \dfrac{x}{a} - \dfrac{3a}{a+1} = 4ax + \dfrac{ (2a + 1)x}{ a(a+1)^2} - \dfrac{3a^2}{ (a+1)^3}$.
3.Giải phương trình:
$(x-1)^3 + (2x + 3)^3 = 27x^3 + 8$

 

[eye_smile]

1. Cho a,b,c là ba số dương. Chứng minh rằng:
a^2/( b + c ) + b^2/(a + c ) +c^2/(a + b) \geq (a + b + c)/2

Ta có: *${\left( {2a - b - c} \right)^2} = {\left[ {2a - \left( {b + c} \right)} \right]^2} = {\left( {2a} \right)^2} - 2.2a.\left( {b + c} \right) + {\left( {b + c} \right)^2} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} - 4a\left( {b + c} \right) \ge 0$
\Rightarrow ${\left( {2a} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} \ge 4a\left( {b + c} \right)$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{4\left( {b + c} \right)}} \ge \dfrac{{4a\left( {b + c} \right)}}{{4\left( {b + c} \right)}} = a$
Chứng minh tt, ta cũng có: $\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b$
$\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge c$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge a + b + c$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge a + b + c - \dfrac{{b + c + a + c + a + b}}{4}$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}$

 

[cry_with_me]

cách trình bày của bạn hơi dài

áp dụng BĐT Cô-si:

$\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b+c}{4} ≥ a$

$\rightarrow \dfrac{a^2}{b+c} ≥ a - \dfrac{b+c}{4} \ \ (1)$

tương tự ta có:

$\rightarrow \dfrac{b^2}{a+c} ≥ b - \dfrac{a+c}{4} \ \ (2)$

$\rightarrow \dfrac{c^2}{b+a} ≥ c - \dfrac{b+a}{4} \ \ (3)$

cộng vế với vế của (1),(2),(3):

$\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{a+c}+ \dfrac{c^2}{b+a} ≥ (a+b+c) - \dfrac{a+b+c}{2} =\dfrac{a+b+c}{2}$

$\rightarrow \fbox{đpcm}$

 

[braga]

Ta có: *${\left( {2a - b - c} \right)^2} = {\left[ {2a - \left( {b + c} \right)} \right]^2} = {\left( {2a} \right)^2} - 2.2a.\left( {b + c} \right) + {\left( {b + c} \right)^2} = {\left( {2a} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} - 4a\left( {b + c} \right) \ge 0$
\Rightarrow ${\left( {2a} \right)^2} + {\left( {b + c} \right)^2} \ge 4a\left( {b + c} \right)$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} = \dfrac{{{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {b + c} \right)}^2}}}{{4\left( {b + c} \right)}} \ge \dfrac{{4a\left( {b + c} \right)}}{{4\left( {b + c} \right)}} = a$
Chứng minh tt, ta cũng có: $\dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} \ge b$
$\dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge c$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{b + c}}{4} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{a + c}}{4} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} + \dfrac{{a + b}}{4} \ge a + b + c$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge a + b + c - \dfrac{{b + c + a + c + a + b}}{4}$
\Rightarrow $\dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{a + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}$

cách trình bày của bạn hơi dài

áp dụng BĐT Cô-si:

$\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b+c}{4} ≥ a$

$\rightarrow \dfrac{a^2}{b+c} ≥ a - \dfrac{b+c}{4} \ \ (1)$

tương tự ta có:

$\rightarrow \dfrac{b^2}{a+c} ≥ b - \dfrac{a+c}{4} \ \ (2)$

$\rightarrow \dfrac{c^2}{b+a} ≥ c - \dfrac{b+a}{4} \ \ (3)$

cộng vế với vế của (1),(2),(3):

$\dfrac{a^2}{b+c} + \dfrac{b^2}{a+c}+ \dfrac{c^2}{b+a} ≥ (a+b+c) - \dfrac{a+b+c}{2} =\dfrac{a+b+c}{2}$

$\rightarrow \fbox{đpcm}$

Không phải dài như thế này
Ta chỉ việc áp dụng BĐT : [TEX]\frac{x+y}{xy} \geq \frac{4}{x+y}[/TEX] với [TEX]x,y>0[/TEX], ta có :
[TEX]\frac{ab}{a+b} \leq \frac{a+b}{4} \ ; \ \frac{bc}{b+c} \leq \frac{b+c}{4} \ ; \ \frac{ca}{c+a} \leq \frac{c+a}{4}[/TEX]
Cộng từng vế 3 BĐT trên \Rightarrow dpcm

 

[braga]

3.Giải phương trình:
$(x-1)^3 + (2x + 3)^3 = 27x^3 + 8$

[TEX]pt\Leftrightarrow (x-1)^3+(2x+3)^3+(-3x-2)^3=0[/TEX]

Đặt [TEX]x-1=a \ ; \ 2x+3=b \ ; \ -3x-2 =c [/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc \Rightarrow abc=0 \Rightarrow \[x-1=0 \\ 2x+3=0 \\ -3x-2=0[/TEX] [TEX]\Rightarrow \[x=1 \\ x=\frac{-3}{2} \\ x=\frac{-2}{3}[/TEX]

Vậy tập nghiệm của pt : [TEX]S=\{\frac{-3}{2};\frac{-2}{3} ; 1\}[/TEX]

 

[mr_phamduong]

[TEX]pt\Leftrightarrow (x-1)^3+(2x+3)^3+[I](-3x-2)^3[/I]=0[/TEX]

Đặt [TEX]x-1=a \ ; \ 2x+3=b \ ; \ -3x-2 =c [/TEX]

[TEX]\Rightarrow a+b+c=0 \Rightarrow a^3+b^3+c^3=3abc \Rightarrow abc=0 \Rightarrow \[x-1=0 \\ 2x+3=0 \\ -3x-2=0[/TEX] [TEX]\Rightarrow \[x=1 \\ x=\frac{-3}{2} \\ x=\frac{-2}{3}[/TEX]

Vậy tập nghiệm của pt : [TEX]S=\{\frac{-3}{2};\frac{-2}{3} ; 1\}[/TEX]

sai phần nghiêng.
[TEX]27x^3 + 8 = (3x+2)^3 [/TEX] ****************************
khai triển HĐT vế trái và vế phải có ngay nhân tử là 3x+2 !!!!!!!