Toán 8 CMR :$a^4+b^4+c^4 \ge abc(a+b+c)$

[sonad1999]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a>0, b>0, c>0. CMR:[TEX]a^4[/TEX] + [TEX]b^4[/TEX] + [TEX]c^4[/TEX] \geq abc(a+b+c)

 

[haga_s2_kyo]

Áp dụng BDT :[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] ta có:

[TEX]a^4+b^4+c^4 \geq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geq ab^2c+a^2bc+abc^2=abc(a+b+c)[/TEX]

[TEX]= \Leftrightarrow a=b=c.[/TEX]

 

[cry_with_me]

.


HÌNH như t có nghe cô nói

khi sử dụng BDT ko có sẵn ( nghĩa là ko phải BDT đc thừa nhận) thì phải thông qua 1 bước CM BDT đó đúng rồi mới đc sử dụng
cái này nè $x^2+y^2+z^2$ \geq $xy+yz+zx$

còn cách nữa

vì. a,b,c >0

Áp dụng BDT cô-si

$a^4 + b^4$\geq $2\sqrt{a^4b^4} =2a^2b^2$ (1)


tương tự ta có :
$b^4 + c^4$\geq $2b^2c^2$ (2)

$a^4 + c^4$ \geq$2a^2c^2$ (3)

cộng vế với vế của (1),(2),(3) ta được

$a^4 + b^4 + c^4$ \geq $a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2 $ (đã rút 1 bước chia cả 2 vế cho 2)

Áp dụng tiếp BDT cô-si cho vế trái:

$a^2b^2 + b^2c^2 = b^2(a^2 + c^2)\\$

vì $b^2$ \geq 0 nên áp dụng BDT cô-si cho tổng ,ta đc:

$a^2 + c^2$\geq 2ac

-> $b^2(a^2 + c^2)$\geq $2b^2ac$ (4)

tương tự :

$b^2c^2 + a^2c^2 $\geq $2c^2ab$ (5)


$a^2b^2 + a^2c^2 $ \geq$2a^2bc$ (6)


cộng vế với vế của (4),(5),(6)

$a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2$ \geq $a^2bc + c^2ab + b^2ac $ (đã chia cả 2 vế cho 2)

<-> $a^2b^2 + b^2c^2 + a^2c^2$ \geq $abc(a+b+c)$



TỪ ->$a^4 + b^4 + c^4$ \geq $abc(a+b+c)$ (đpcm)

 

[monokuru.boo]

Cách 3 nè

ta có: 2(a^2 -bc)^2 + 2(b^2 -ac)^2 +2(c^2-ab)^2 + (a^2-b^2)^2 + (b^2-c^2)^2 + (c^2-a^2)^2 >=0
<=> 4a^4 + 4b^4 +4c^4 - 4.(a^2.bc + b^2.ac + c^2.ab) >=0
<=> a^4+b^4+c^4>=abc(a+b+c) : đpcm

 

[nhocvn01]

ta có:
$a^4+a^4+b^4+c^4 \ge 4a^2bc$ (1)
tương tự, ta có:
$b^4+b^4+c^4+a^4 \ge 4ab^2c$ (2)
$c^4+c^4+a^4+b^4 \ge 4abc^2$ (3)
lấy (1)+(2)+(3), ta có: $\mathfrak{dpcm}$

 

[Trần Thiên Lâm]

Áp dụng BDT :[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX] ta có:

[TEX]a^4+b^4+c^4 \geq (ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geq ab^2c+a^2bc+abc^2=abc(a+b+c)[/TEX]

[TEX]= \Leftrightarrow a=b=c.[/TEX]

Dấu bđt thứ 3 e ko hiểu

 

[Ann Lee]

Dấu bđt thứ 3 e ko hiểu

Ý của em là đoạn này?

(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geq ab^2c+a^2bc+abc^2[/TEX]

Theo BĐT Cauchy ta có:
[tex](ab)^2+(bc)^2\geq 2\sqrt{(ab)^2(bc)^2}=2ab^2c[/tex]
Tương tự...
Suy ra [TEX](ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geq ab^2c+a^2bc+abc^2[/TEX]
~~~
Nếu để ý kĩ thì ta thấy trong bái đấy có dòng này

Áp dụng BDT :[TEX]x^2+y^2+z^2 \geq xy+yz+zx[/TEX]

Coi $ab=x$; $bc=y$; $ca=z$ thì khi đó $xy=ab^2c$; $yz=abc^2$ và $zx=a^2bc$
Nên $(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\geq ab^2c+abc^2+a^2bc$