[Toán 9]Phương trình nghiệm nguyên
CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG DÙNG
Phương Pháp 1 : Phát hiện tính chia hết của 1 ẩnVD1: Giải Phương trình với nghiệm nguyên
[tex]3x +17y=159[/tex]
Giải
Giả sử x,y là các số thỏa mã phương trình trên , ta thấy
*159 chia hết cho 3
* 3x chia hết cho 3
=> 17y chia hết cho 3
=> y chia hết cho 3
Dặt y =3t ( t thuộc Z) thay vào PT ta cs
3x + 17.3t =159
<=> x+17t =53
Do đó x=53 -17t
=> y=3t
Đảo lại : Thay các biểu thức của x,y vào PT được nghiệm đúng
Vậy PT có vô số nghiệm (x,y) được biểu thị bởi công thức
x=53-17t
y=3t
Phương Pháp 2 :Đưa phương trình ước số
VD2 : tìm nghiệm nguyên của Phương trình
xy-x-y =2
Giải : biến đổi Phương trình thành
x(y-1)-(y-1)=3
<=> (y-1)(x-1)=3
Ta gọi phương trình trên là " Phương trình ước số": vế trái là một tích các thừa số nguyên , vế phải là một hằng số . Ta có x,y là các số nguyên nên x-1,y-1 là các số nguyên và là Ư(3)
Lập bảng ra và tìm nghiệm ta được các nghiệm sau
4,2);(2,4);(0,-2);(-2,0)
Phương pháp 3 : tách các giá trị nguyên
VD 3 : tìm nghiệm nguyên của các phương trình
xy-x-y=2
Giải Biểu thị x theo y từ phương trình đã cho được
x(y-1) =y+2
ta thấy y khác 1 vì nếu y=1 thì 0x =3 (vô lý)
=> [tex]x= \frac{y+2}{y-1}[/tex]
=>[tex]x= 1+ \frac{3}{y-1}[/tex]
x nguyên => y-1 là ước của 3
=> nghiệm phương trình là
4,2);(2,4);(0,-2);(-2,0)
Phương pháp 4 : Xét sô dư của tùng vế
VD4 : a/[tex]x^2 - y^2 =1998[/tex]
b/[tex]x^2 + y^2 =1999[/tex]
Giải
a/ ta thấy [tex]x^2,y^2[/tex] chia cho 4 chỉ dư 0,1
nên [tex]x^2 -y^2[/tex] chia cho 4 có số dư là 0,1,3 . còn vế phải chia 4 dư 2
=> Phương trình kô có nghiệm nguyên
b/ ta thấy [tex]x^2 +y^2[/tex] chia cho 4 có số dư 0,1,2 . còn vế phải 1999 chia cho 4 dư 3
=> PT kô có nghiệm nguyên
Phương Pháp 5 : Dùng bất đẳng thức
VD5 : tìm 3 số nguyên dương sao cho tổng của chúng bằng tích cảu chúng
Giải Gọi các số nguyên dương phải tìm là x,y,z .Ta có
x+y+z =xyz(1)
chú ý nhá , các ẩn x,y,z có vai trò bình đẳng nên có thế "Sắp thức tự các ẩn" .Giả dụ
[tex]1 \leq x \leq y \leq z[/tex]
Do đó [tex]xyz=x+y+z \leq 3z[/tex]
Chia 2 vế của Bất đẳng thức cho z ta được [tex]xy \leq 3[/tex]
do đó xy =\thuộc{1,2,3}
* với xy=1 ta có x=1,y=1 thay vào (1) được 2+z=z ( loại)
*Với xy=2 ta có x=1,y=2 . Thay vào (1) được z=3
*Với xy=3 tacó x=1,y=3 , thay vào (1) được z=2 (loại)
vậy 3 số phải tìm là 1,2,3
Phương Pháp 6:Chỉ ra nghiệm nguyên
Phương pháp xét từng khoảng giá trị của ẩn còn đượcthể hiện dưới dạng : Chỉ ra môt vài số là nghiệm nguyên của PT , rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất
VD 6 [tex]2^x +3^x=5^x[/tex]
Giải Viết Phương trình dưới dạng
[tex](\frac{2}{5})^x + (\frac{3}{5})^x =1[/tex]
xét x=0 => loại
xét x=1=> đúng
Với [tex]x \geq 2[/tex]
=> [tex](\frac{2}{5})^x \leq \frac{2}{5}[/tex]
[tex](\frac{3}{5})^x \leq \frac{3}{5}[/tex]
[tex]\frac{2}{5})^x + \frac{3}{5})^x < 1[/tex]
=> x=1
Phương Pháp 7 : Sử dụng tính chát của sô chình phương
VD7 : Tìm các nghiệm nguyên của Phương trình
[tex]2x^2 + 4x =19-3y^2[/tex]
Giải : ta có [tex]2x^2 +4x=19-3y^2 <=> 2(x+1)^2=3(7-y^2)[/tex]
Ta thấy[tex]7-3y^2[/tex] chia hết cho 2 và lớn hơn hoặc bằng 0 nên [tex]y^2=1[/tex]
=> y=1,-1 , đến đây các bạn tự giải nốt nhá
VD 8 Tìm tất các cả các số nguyên x để biểu thức sau là một số chính phương
[tex]P=x^4 +2x^3+2x^2+x+3[/tex]
đặt [tex]P=y^2[/tex]( y thuộc [tex]Z^+[/tex])
Ta có [tex]y^2 = x^4+2x^3+2x^2+x+3 =(x^2+2)^2 +(x^2+x+3) >(x^2+x)^2[/tex]
và [tex]y^2=x^4+2x^3+2x^2+x+3 =(x^2 +x +1)^2 -(3x^2 +3x +1) \leq (x^2+x+2)^2[/tex]
=> [tex]y^2 =(x^2+x+1)^2 <=> x^2+x-2 =0[/tex]
các bạn giải nốt
Phương Pháp 8 : Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình
ta viét phương trình F(x,y)=0 dưới dạng Phương trình bậc 2 ,1 ẩn , chẳng hạn đối với x khi đó y là tham số. Điều kiện cần để PT có nghiệm là đenta [tex]\geq 0[/tex](có nghiệm nguyên denta còn là số chính phương)
VD9 : [tex]x+y+xy=X^2 +y^2[/tex](1)
Viết (1) thành phương trình bậc 2 đối với x
[tex]x^2 -(y+1)x+(y^2 -y)=0[/tex](2)
để có nghiệm nên denta [tex]\geq 0[/tex]
giải den ta => [tex]3-(y-1)^2 \leq 4[/tex]
Do đó (y-1)^2 \leq 1 => y-1 có 3 giá trị là -1,0,1 ( y là số nguyên)
các bạn giải ra có 6 nghiệm là (0,0);(1,0);(0,1);(2,1);(1,2);(2,2)
( ai thấy bổ ích Thanks giùm nhá ,hjx mỏi tay quá)
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn