tìm min max

[cuncc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho $x^2+y^2 =1$ và $x, y \geq 0$
Tìm Min, Max của biểu thức $P = x^7+y^7+x^5+y^5$
Câu 5. Ngày 03/09/2012

 

[hthtb22]

Vì $x,y \ge 0; x^2+y^2=1$
Nên $0 \le x,y \le 1$
Nên $P=x^7+y^7+x^5+y^5 \le x^2+y^2+x^2+y^2=2$
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $(x;y)\in {(0;1);(1;0)}$

 

[vivietnam]

Vì $x,y \ge 0; x^2+y^2=1$
Nên $0 \le x,y \le 1$
Nên $P=x^7+y^7+x^5+y^5 \le x^2+y^2+x^2+y^2=2$
Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $(x;y)\in {(0;1);(1;0)}$

Bài này chưa tìm [TEX]min P[/TEX]
Dùng phương pháp đạo hàm

Cho $x^2+y^2 =1$ và $x, y \geq 0$
Tìm Min, Max của biểu thức $P = x^7+y^7+x^5+y^5$
Câu 5. Ngày 03/09/2012

Từ đề cho [TEX]\Rightarrow y=\sqrt{1-x^2} (0\leq x;y \leq1) [/TEX]
[TEX]P=f(x)=x^7+(1-x^2)^{\frac{7}{2}}+x^5+(1-x^2)^{\frac{5}{2}}[/TEX]
[TEX]f'=7x^6-7x(1-x^2)^{\frac{5}{2}}+5x^4-5x.(1-x^2)^{\frac{3}{2}}= x[x^3(7x^2+5)-(\sqrt{1-x^2})^3(7.(1-x^2)+5)][/TEX]
[TEX]g(t)=t^3(7t^2+5)[/TEX] đồng biến trên [0;1]
[TEX]\Rightarrow f'=0 \Leftrightarrow \left[\begin{x=0}\\{x=\frac{1}{\sqrt{2}}}[/TEX]
[TEX]f(0)=2;f(\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{3.\sqrt{2}}{8};f(1)=2[/TEX]
Vậy [TEX]max P=2;min P=\frac{3.\sqrt{2}}{8}[/TEX]

 

[hthtb22]

Cách khác tìm max<hoàn thiện bài>
Áp dụng Cô si 7 số ta có:
$2x^7+5a=x^7+x^7+a+a+a+a+a \ge 7x^2.\sqrt[7]{a^5}$

Tương tự $2y^7+5a \ge 7y^2\sqrt[7]{a^5}$

Với $a=(\sqrt{\frac{1}{2}})^7$

\Rightarrow $x^7+y^7 \ge \frac{7\sqrt[7]{a^5}-10a}{2}$

Áp dụng Cô si 5 số:

$2x^5+3b=x^5+x^5+b+b+b \ge 5x^2\sqrt[5]{b^3}$

Tương tự $2y^5+3b \ge 5y^2.\sqrt[5]{b^3}$

Với $b=(\sqrt{\frac{1}{2}})^5$

\Rightarrow $x^5+y^5 \ge \frac{5\sqrt[5]{b^3}}{2}$

Từ đó tính ra $P \ge \frac{3.\sqrt{2}}{8}$

Dấu = xảy ra \Leftrightarrow $x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}$