[Toán 9] Đề thi HSG toán 9 tỉnh Hưng Yên năm học 2011-2012

[minhtuyb]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Ngày thi: 15/03/2012
​

Câu I (2.0 điểm):
1. cho hàm số [tex] f(x)=(x^4+\sqrt{2}x-7)^{2012} [/tex]. tính [tex] f(a) [/tex] với
[tex] a=(4+\sqrt{15})(\sqrt{5}-\sqrt{3}).\sqrt{4-\sqrt{15}} [/tex]
2. cho parabol (P): [tex] y=x^2 [/tex]. Trên (P) lấy 2 điểm [tex] A_1, A_2 [/tex] sao cho [tex] \angle A_1OA_2=90^o [/tex] (O là gốc tọa độ ). Hình chiếu vuông góc của [tex] A_1, A_2 [/tex] lêm trục hoành lần lượt là [tex] B_1, B_2 [/tex].
CMR [tex] OB_1.OB_2 =1 [/tex] .

Câu II (2điểm):
1. Cho PT [tex] x^2-3mx-m=0 [/tex] (m là tham số khác 0) có 2 nghiệm phân biệt [tex] x_1, x_2 [/tex] tìm giá trị nhỏ nhất của:
[tex] A=\frac{m^2}{x_2^2+3mx_1+3m}+\frac{x_1^2+3mx_2+3m}{m^2} [/tex].
2. tìm nghiệm nguyên của PT: [tex] x^4-2y^4-x^2y^2-4x^2-7y^2-5=0 [/tex]

Câu III: (2.0 điểm):
1. giải hệ:
[tex] \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y} =1& \\\sqrt{x+y}=x^2-y\end{matrix}\right.[/tex]
2. giải PT:
[tex] (3x+1)\sqrt{2x^2-1}=5x^2+\frac{3}{2}x-3 [/tex]

Câu IV: (3.0 điểm)
1. cho đường tròn tâm O có đường kính CD là đường cao của tam giác ABC vuông tại C. đường tròn (O) cắt các cạnh AC, BC lần lượt tại E và F, gọi M là giao điểm của đường tròn tâm O với BE (M khác E). hai đường thẳng AC, MF cắt nhau tại K, EF và BK cắt nhau tại P
a. CMR B,M,F,P cùng thuộc 1 đường tròn
b. tính các góc của tam giác ABC khi 3 điểm D,M,P thẳng hàng.
2.cho tam giác ABC vuông tại C, góc BAC bằng [tex] 60^o [/tex] và trung tuyến [tex] BD=\frac{3}{4}a [/tex]. tính diện tích tam giác ABC theo a.


Câu V1 điểm ) Trên mặt phẳng cho 6 đường tròn có bán kính bằng nhau và có điểm chung. CMR ít nhất 1 trong những đường tròn này chứa tâm của 1 đường tròn khác trong chúng.

Nguồn VMF. Thấy bên đó chưa giải nhiều nên vác về đây xem có khả quan hơn không

 

[minhtuyb]

Câu V (perfectstrong)
Lời giải:
Gọi O là điểm chung của cả 6 đường tròn.
Gọi A,B,C,D,E,F thứ tự là tâm các đường tròn đó và R là bán kính các đường tròn.
Do gt nên A,B,C,D,E,F đều nằm trên (O;R).
Xét 6 góc [tex]\widehat{ AOB};\widehat{ BOC};\widehat{ COD};\widehat{ DOE};\widehat{ EOF};\widehat{ FOA}[/tex].
Ta có: [tex]\widehat{ AOB}+\widehat{ BOC}+\widehat{ COD}+\widehat{ DOE}+\widehat{ EOF}+\widehat{ FOA}=360^o[/tex].
Giả sử [tex]\widehat{ AOB}[/tex] là góc nhỏ nhất [tex]\Rightarrow \widehat{ AOB} \leq 60^o[/tex]
[tex]\Delta AOB[/tex] cân tại O có [tex]\widehat{ AOB} \leq 60^o \Rightarrow AB \leq AO=R[/tex]
Do đó, (A;R) chứa B (đpcm).

Câu II,2:
Phương trình đã cho tương đương
[tex](x^2-2y^2-5)(x^2+y^2+1)=0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow x^2-2y^2=5(1)[/tex]

[tex]x^2\equiv 0,1,4(mod8)[/tex]
[tex]2y^2\equiv 0,2(mod8)[/tex]
[tex]\Rightarrow VT(1)\equiv 0;1;2;4;6;7(mod8)[/tex]
Vậy pt đã cho vô nghiệm nguyên

 

[linhhuyenvuong]

Câu III: (2.0 điểm):
1. giải hệ:
[tex] \left\{\begin{matrix}x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y} =1& \\\sqrt{x+y}=x^2-y\end{matrix}\right.[/tex]

dk: x+y \geq0
[TEX]x^2+y^2+\frac{2xy}{x+y}=1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+y^2+\frac{(x+y)^2-x^2-y^2}{x+y}=1[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]x^2+y^2+x+y-\frac{x^2+y^2}{x+y}-1=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x+y-1)+(x^2+y^2)(1-\frac{1}{x+y})=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x+y-1)+(x^2+y^2).\frac{x+y-1}{x+y}=0[/TEX]
\Leftrightarrow[TEX](x+y-1)(1+\frac{x^2+y^2}{x+y})=0[/TEX]

\Rightarrow[TEX]\left[\begin{x+y=1(1)}\\{x^2+y^2=-(x+y)(2)} [/TEX]
+(1)
[TEX]\left[\begin{x+y=1}\\{\sqrt{x+y}=x^2-y} [/TEX]
....
+(2)
[TEX] -(x+y)= x^2+y^2 \geq0 \Rightarrow x+y \leq0; x+y \geq0(dk) \Rightarrow x+y=0[/TEX]
....