Giải hệ PT

[saurom336]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải hệ PT sau:
[TEX]\left{\begin{\sqrt{x}+\sqrt{2010-y}=\sqrt{2010}}\\{\sqrt{y}+\sqrt{2010-x}=\sqrt{2010}}[/tex]

 

[girlbuon10594]

Điều kiện: [TEX]0<x,y<2010[/TEX]

Trừ 2 vế tương ứng của 2 phương trình, ta được:

[TEX]\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{2010-y}-\sqrt{2010-x}=0[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]\sqrt{x}+\sqrt{2010-y}=\sqrt{y}+\sqrt{2010-x}[/TEX]

\Leftrightarrow [TEX]x+2010-y+2\sqrt{x}.\sqrt{2010-y}=y+2010-x+2\sqrt{y}.\sqrt{2010-x}[/TEX]

\Leftrightarrow[TEX] x+\sqrt{x(2010-y)}=y+\sqrt{y(2010-x)}[/TEX]

Đến đây thì.....

 

[hn3]

Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski với hệ phương trình ban đầu được không girlbuon10594 :-/

 

[tam.levan81]

trừ 2 vế của 2 phương trình ta có:
[tex]\sqrt{x}+\sqrt{2010-y}-\sqrt{y}-\sqrt{2010-x}=0[/tex]

[tex]=>\sqrt{x}-\sqrt{y}+\sqrt{2010-y}-\sqrt{2010-x}=0[/tex]

[tex]=>\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}+ \frac{x-y}{\sqrt{2010-y}+\sqrt{2010-x}}=0[/tex]
=> x=y
với x=y thay vào 1 trong 2 phương trình ta được
[tex]\sqrt{2010-x}+\sqrt{x}=\sqrt{2010}[/tex]

[tex]=> \sqrt{2010-x}\sqrt{x}=0 => x=0; x=2010.[/tex]
+x=0 => y=0
+x=2010 => y=2010
Vậy hệ có 2 nghiệm.

 

[lovelycat_handoi95]

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x}+\sqrt{2010-y}=\sqrt{2010}}(1)\\{\sqrt{y}+\sqrt{2010-x}=\sqrt{2010}}(2)[/TEX]


[TEX]HPT \Rightarrow \left{\begin{\sqrt{x}+\sqrt{2010-y}=\sqrt{2010}}(1)(3)\\\sqrt{x}-\sqrt{2010-x} = {\sqrt{y}-\sqrt{2010-y} (4) [/TEX]

Ta thấy [TEX](4) \Leftrightarrow f(x)=f(y) [/TEX]; Với [TEX]f(t) = \sqrt{t}+\sqrt{2010-t}[/TEX] Nếu [TEX]0 \leq t \leq 2010 [/TEX]

Thấy f(t) là hàm đồng biến khi [TEX]0 \leq t \leq 2010[/TEX]

Từ đó [TEX]f(x) =f(y) \Leftrightarrow x=y[/TEX]

Vậy

[TEX]HPT \Leftrightarrow \left {x=y ;0 \leq t \leq 2010 \\ \sqrt{x}+\sqrt{2010-x}=\sqrt{2010}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left {x=y=0 \\ x=y= 2010[/TEX]

 

[quynhnhung81]

[TEX]\left{\begin{\sqrt{x}+\sqrt{2010-y}=\sqrt{2010}}(1)\\{\sqrt{y}+\sqrt{2010-x}=\sqrt{2010}}(2)[/TEX]


[TEX]HPT \Rightarrow \left{\begin{\sqrt{x}+\sqrt{2010-y}=\sqrt{2010}}(1)(3)\\\sqrt{x}-\sqrt{2010-x} = {\sqrt{y}-\sqrt{2010-y} (4) [/TEX]

Ta thấy [TEX](4) \Leftrightarrow f(x)=f(y) [/TEX]; Với [TEX]f(t) = \sqrt{t}+\sqrt{2010-t}[/TEX] Nếu [TEX]0 \leq t \leq 2010 [/TEX]

Thấy f(t) là hàm đồng biến khi [TEX]0 \leq t \leq 2010[/TEX]

Từ đó [TEX]f(x) =f(y) \Leftrightarrow x=y[/TEX]

Vậy

[TEX]HPT \Leftrightarrow \left {x=y ;0 \leq t \leq 2010 \\ \sqrt{x}+\sqrt{2010-x}=\sqrt{2010}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left {x=y=0 \\ x=y= 2010[/TEX]

Trừ vế theo vế của 2 phương trình, ta được
[TEX]\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{2010-x}-\sqrt{2010-y}[/TEX]
Xét x> y \Rightarrow VT>0 và VP< 0 \Rightarrow vô lý
Xét x<y \Rightarrow VT<0 và VP >0 \Rightarrow vô lý
\Rightarrow x=y
Thay x=y vào một trong hai phương trình là được