[Toán 9] Thử sức cùng đề thi tuyển chọn hsg tỉnh Nghệ An vòng 2

[nhok_iu_vjt_kwon]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài1: Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho tổng tất cả các ước của [tex] p^4[/tex] là 1 số chính phương
Bài2: a) Giải hpt sau:
[tex] x+y=1 va X^4+y^4=\frac{1}{8}[/tex]
b) cho các số thực x,y thoả mãn đk:
[tex] sqrt{x^2+5}+sqrt{x-1}+x^2=sqrt{y^2+5}+sqrt{y-1}+y^2[/tex]
Bài3: Cho tam giác ABC có số đo các đường cao là số nguyên dương và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng 1 đơn vị ( đvị độ dài). CM tgiác ABC đều
Bài4: Cho tgiác ABC ko cân, M là trung điểm của BC, Ad là đường cao. Gọi E,F lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ B,C xuống đường kính qua A của đường tròn ngoại tiếp tgiác ABC . CM M là tâm đường tròn ngoại tiếp tgiác DEF

 

[quynhnhung81]

Bài1: Tìm tất cả các số nguyên tố P sao cho tổng tất cả các ước của [tex] p^4[/tex] là 1 số chính phương
Bài2: a) Giải hpt sau:
[tex] x+y=1 va X^4+y^4=\frac{1}{8}[/tex]

Bài 1: Vì p là số nguyên tố nên các ước của [TEX]p^4[/TEX] là [TEX]1,p,p^2,p^3,p^4[/TEX]
Ta có [TEX]1+p+p^2+p^3+p^4=y^2[/TEX]
Giải phương trình nghiệm nguyên dương [TEX]y^2=1+x+x^2+x^3+x^4[/TEX]
Với x=0 \Rightarrow y=1
Xét x#0 ta có [TEX]4y^2=(2x^2+x)^2+3x^2+4x+4 > (2x^2+x)^2[/TEX]

Mặt khác [TEX]4y^2= (2x^2+x+2)^2-5x^2 < (2x^2+x+2)^2[/TEX]

Từ đó ta có [TEX](2x^2+x+2)^2 < 4y^2 < (2x^2+x)^2[/TEX]

Suy ra [TEX]4y^2=(2x^2+x+1)^2[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4(1+x+x^2+x^3+x^4)=(2x^2+x+1)^2[/TEX]

\Leftrightarrow x=3 (do x nguyên dương)

Vậy p=3

Bài 2: Đặt x+y=S, xy=P ([TEX]S^2 \geq 4P[/TEX])
Từ đó ta có hệ phương trình mới là
[TEX]\left{\begin{S=1}\\{S^4-4PS^2+2P^2=\frac{1}{8}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{S=1}\\{16P^2-32P+7=0}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{S=1}\\{(4P-7)(4P-1)=0}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{S=1}\\{\left[\begin{P=1,75}\\{P=0,25}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{S=1}\\{P=0,25}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{x+y=1}\\{xy=0,25}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}[/TEX]

 

[nhinthibiet97]

tớ chỉ giúp được bài 3 thôi
gọi đường cao t/ư vs 3 cạnh AB,BC,CA lần lượt là hA,hB,hC(hA,hB,hC thuộc Z).bán kính đường tròn nội tiếp tam giác = r =1.
Ta có 2SABC=r(AB+AC+BC)=AB+BC+CA (r=1)
Lại có 2SABC=hA.BC=hB.AC=hC.AB
=>AB+BC+CA=hA.BC AB+AC=BC(hA-1)
AB+BC+CA=hB.AC =>AB+BC=AC(hB-1)
AB+BC+CA=hC.AB BC+CA=AB(hC-1)
theo BĐT trong tam giác:AB+AC>BC
BC+AB>AC =>hA,hC,hA > 2
BC+CA>AB
hA,hB,hC>=3
không mất tính tổng quát giả sử:AB>=AC>=BC Vì hA.BC=hB.AC=hC.AB
=>hA>=hB>=hC>=3(1)
do đó AB+BC+CA<=3AB
=>AB.hC <=3AB(2)
=> hC <=3
TỪ (1)VÀ(2) => hC=3
=> AB+BC+CA=3AB =>BC+CA=2AB
MÀ BC+CA<=AB+AB=2AB
=>AB=BC=CA =>TAM GIÁC ABC ĐỀU
NHƯ THẾ NÀY <= LÀ BÉ HƠN HOẶC BÀNG CÒN NHƯ THẾ NÀY >= LỚN HƠN HOẶC BẰNG CÁC BẠN Ạ

 

[tryfighting]

Bài 2 b) cho các số thực x,y thoả mãn đk:

Giải
TA XÉT 3 TH SAU:
+) x>y\geq1 => x^2 +5>y^2+5
x-1>y-1
x^2>y^2
=>

ko thể xảy ra
+) x<y . CMtương tự
+)x=y ( thoả mãn).thay vào PT rùi giải ra