[Toán 9]Toán cực trị

[p3tr4npr0]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Cho a,b,c >0. Tìm min P:
P=[TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b}[/TEX]
2. Cho 3 số dương thỏa mãn: [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Tìm min của:
M=[TEX]\frac{a}{b^2+c^2} + \frac{b}{c^2+a^2} + \frac{c}{a^2+b^2}[/TEX]
Mọi người giúp em nhá!! Đây là quà tết của mấy cô thầy tặng em đó!!! Tks mọi người trước!!
@minhtuyb-Chú ý:Latex và cách đặt tên tiêu đề

 

[son9701]

1. Cho a,b,c >0. Tìm min P:
P=[TEX]\frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} +\frac{c}{a+b}[/TEX]
2. Cho 3 số dương thỏa mãn: [TEX]a^2+b^2+c^2=1[/TEX]. Tìm min của:
M=[TEX]\frac{a}{b^2+c^2} + \frac{b}{c^2+a^2} + \frac{c}{a^2+b^2}[/TEX]
Mọi người giúp em nhá!! Đây là quà tết của mấy cô thầy tặng em đó!!! Tks mọi người trước!!
@minhtuyb-Chú ý:Latex và cách đặt tên tiêu đề

Chém: Câu a: đây là bất đẳng thức nesbit.Mình xin nêu ra 1 cách cminh:
P+3=[TEX]\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9(a+b+c}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}[/TEX]Dấu = xảy ra khj a=b=c

 

[p3tr4npr0]

Chém: Câu a: đây là bất đẳng thức nesbit.Mình xin nêu ra 1 cách cminh:
P+3=[TEX]\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}+\frac{a+b+c}{a+b}=(a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9(a+b+c}{a+b+b+c+c+a}=\frac{9}{2}[/TEX]
[TEX]\Rightarrow P\geq \frac{3}{2}[/TEX]Dấu = xảy ra khj a=b=c

MÌnh k hiểu chỗ này lắm! Bạn giải thích giùm mình:

[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9(a+b+c}{a+b+b+c+c+a}[/TEX]

 

[son9701]

MÌnh k hiểu chỗ này lắm! Bạn giải thích giùm mình:

[TEX](a+b+c)(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a})\geq \frac{9(a+b+c}{a+b+b+c+c+a}[/TEX]

Nói rõ ràng ra là như thế này :
[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}\Rightarrow \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\geq \frac{9(a+b+c)}{2a+2b+2c}[/TEX]

thế này hiểu chưa nhỉ ???

 

[p3tr4npr0]

Nói rõ ràng ra là như thế này :
[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{(a+b)+(b+c)+(c+a)}\Rightarrow \frac{a+b+c}{a+b}+\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}\geq \frac{9(a+b+c)}{2a+2b+2c}[/TEX]

thế này hiểu chưa nhỉ ???

^^! Ý mình nói là vì sao có cái bất phương trình đó kìa:
[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{(a+b)+(b+c)+(c+a)[/TEX]

 

[taolmdoi]

^^! Ý mình nói là vì sao có cái bất phương trình đó kìa:
[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{(a+b)+(b+c)+(c+a)[/TEX]

BĐT tổng qát nè
[tex]\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n} \geq \frac{n^2}{x_1+x_2+...+x_n}[/tex]

son9701: chú ý latex:http://diendan.hocmai.vn/showthread.php?t=4917

 

[hoangthithuanh]

cái đóa có thể c/m = BĐT Bunhiacopxki :2(a+b+c)[1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)]\geq9
hoặc cô si nhưng dài hơn

 

[locxoaymgk]

^^! Ý mình nói là vì sao có cái bất phương trình đó kìa:
[TEX]\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}\geq \frac{9}{(a+b)+(b+c)+(c+a)[/TEX]

Ta có BDT: Với x,y,z là các số dương ta luôn có:
[TEX](x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \geq 9.[/TEX]
Cách CM:
C1: Theo cô si:

[TEX](x+y+z)(1/x+1/y+1/z)\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9.[/TEX]

Dấu= xảy ra khi[TEX] x=y=z.[/TEX]

C2:

Đặt[TEX] \sqrt{x}=a,\sqrt{y}=b,\sqrt{z}=c.[/TEX]

[TEX]BDT \Leftrightarrow (x^2+y^2+z^2)(1/x^2+1/y^2+1/z^2) \geq 9.[/TEX]

BDt này luôn đúng theo bunhia copxki:

[TEX]VT \geq (a.1/a+b.1/b+c.1/c)^2=9.[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}.[/TEX]

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

[TEX][FONT="Times New Roman"][SIZE="3"] Áp dụng BDT Cô-si[/SIZE][/FONT][/TEX]

[TEX]2a^2(1-a^2)(1-a^2) \leq \frac{8}{27}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow 2a^2(1-a^2)^2 \leq frac{8}{27}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a^2(1-a^2)^2 \leq frac{4}{27}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow a(1-a^2) \leq frac{2}{3\sqrt{3}}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1-a^2}{a} \leq \frac{2}{3\sqrt{3} a^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{1-a^2} \geq \frac{3\sqrt{3} a^2}{2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{a}{b^2 + c^2} \leq \frac{2}{3\sqrt{3} a^2}[/TEX]

tương tự

[TEX]\Leftrightarrow \frac{b}{c^2 + a^2} \leq \frac{2}{3\sqrt{3} b^2}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{c}{a^2 + b^2} \leq \frac{2}{3\sqrt{3} c^2}[/TEX]

[TEX]\Rightarrow M \geq \frac{3\sqrt{3}}{3}[/TEX]

 

[p3tr4npr0]

[TEX][FONT=Times New Roman][SIZE=3] Áp dụng BDT Cô-si[/SIZE][/FONT][/TEX]

[TEX]2a^2(1-a^2)(1-a^2) \leq \frac{8}{27}[/TEX]

Mình không hiểu đoạn này! Phiền bạn ghi rõ được không?

 

[keep_going123]

Mấy bài này bổ ích nhỉ.............................................

 

[vitconcatinh_foreverloveyou]

[TEX][FONT=Times New Roman][SIZE=3] Áp dụng BDT Cô-si[/SIZE][/FONT][/TEX]

[TEX]2a^2(1-a^2)(1-a^2) \leq \frac{8}{27}[/TEX]

Mình không hiểu đoạn này! Phiền bạn ghi rõ được không?

[TEX]2a^2(1-a^2)(1-a^2) \leq \bigg(\frac{2a^2 + 1 - a^2 + 1 - a^2}{3}\bigg)^3 = \frac{8}{27}[/TEX]