[Toán 9] Cực trị

[minsunghyo]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm gt lớn nhất của biểu thức:
A= [TEX]\frac1{x^{3} + y^{3} + 1} + \frac1{y^{3} + z^{3} + 1} + \frac1{z^{3} + x^{3} + 1}[/TEX]

 

[tuyn]

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn: xyz = 1
Tìm gt lớn nhất của biểu thức:
A= [TEX]\frac1{x^{3} + y^{3} + 1} + \frac1{y^{3} + z^{3} + 1} + \frac1{z^{3} + x^{3} + 1}[/TEX]

Ta có:
[TEX]x^3+y^3 \geq xy(x+y) \Rightarrow x^3+y^3+1 \geq xy(x+y)+xyz (do:1=xyz)[/TEX]

[TEX]\Rightarrow \frac{1}{x^3+y^3+1} \leq \frac{1}{xy(x+y+z}= \frac{z}{x+y+z}[/TEX]
Tương tự ta có:
[TEX] \frac{1}{y^3+z^3+1} \leq \frac{x}{x+y+z}, \frac{1}{z^3+x^3+1} \leq \frac{y}{x+y+z}[/TEX]
Cộng vế với vế các BĐT trên suy ra A \leq 1
Vậy MaxA=1 \Leftrightarrow x=y=z=1