Một số bt hình thi hsg cấp tỉnh cần giải gấp

[kitty286]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm A1,B1,C1 sao cho các đường thằng AA1, BB1,CC1 đồng quy. Chứng minh rằng các đường thẳng AA2, BB2,CC2 đối xứng với các đường thẳng đó qua các đường phân giác tương ứng cũng đồng quy.
2. Qua các điểm A,D cùng nằm trên 1 đường tròn kẽ các tiếp tuyến cắt nhau tại S. Trên cung AD lấy các điểm B,C. Các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại P; các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua S.
3. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm A1,B1,C1. CMR nếu các đường thẳng kẻ qua đỉnh của tam giác A1B1C1 vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác ABC đồng quy tại 1 điểm thì các đường thẳng kẻ qua các đỉnh của tam giác ABC vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác A1B1C1 cũng đồng quy tại 1 điểm.
4. Trên 1 đường thẳng lấy 3 điểm E,C,A và trên 1 đường thẳng khác lấy 3 điểm B,F,D. Gọi giao điểm của các đường thẳng AB, ED; CD,AF; EF, BC lần lượt là L,M,N. Chứng minh L,M,N thẳng hàng.
5. Điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , các điểm A1,B1,C1 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thằng BC, AC, AB. Chứng minh A1,B1,C1 thẳng hàng.
6. Trong tam giác ABC vuông, kẻ đường cao CK, trong tam giác ACK kẻ phân giác CE. Gọi D là trung điểm AC, F là giao điểm DE và CK. Chứng minh BF song song CE.
7. Cho tam giác ABC, các đường thẳng song song với nhau đi qua 3 điểm A,B,C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại A1,B1,C1. Chứng minh trọng tâm các tam giác ABC1, BCA1, CAB1 thẳng hàng.
8. Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC,BD và N#M. Đưởng thẳng MN cắt AB, CD lần lượt tại M1,N1. Chứng minh nếu MM1=NN1 thì AD song song BC.
9. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng các đường tròn nội tiếp trong các tam giác ABC, ACD tiếp xúc vs AC tại cùng 1 điểm khi và chỉ khi AB+CD = BC +AD.
10. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh huyền AB lấy điểm X. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của X lên AC,BC. Tìm vị trí của X để tam giác CMXN lớn nhất.
11. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho BK=4KC, trên cạnh CD lấy điểm M sao cho CM=4MD. Hỏi tỉ số BC:CD bằng bao nhiều thì góc KAM sẽ lớn nhất?
12. Trên mặt phẳng cho 1 số hữu hạn các điểm, đồng thời mỗi đường thẳng đi qua 2 trong số những điểm đã cho chứa thêm 1 điểm đã cho nữa. CM tất cả các điểm đã cho đều nằm trên 1 đường thẳng,
13. Trên mặt phẳng cho 1 số hữu hạn các đường thẳng từng đôi một ko song song với nhau, đồng thời qua giao điểm của 2 đường thẳng bất kì có thêm 1 đường thẳng nữa trong số đã cho đi qua. Chứng minh rằng tất cả các đường thằng đã cho đồng quy tại 1 điểm.
14. Trên mặt phẳng cho n điểm mà diên tích của mọi tam giác với các đỉnh tại các điểm đã cho không lớn hơn 1. CMR tất cả các điểm đó có thể đặt trong 1 tam giác có diện tích bằng 4.


Ghi chú: Trong những bài này, 1 số phải sử dụng định lý Xeva và Menelauyt.
Giải đc 1 bài cũng trình bày ra giúp mình nha. Thanks

 

[nerversaynever]

1. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm A1,B1,C1 sao cho các đường thằng AA1, BB1,CC1 đồng quy. Chứng minh rằng các đường thẳng AA2, BB2,CC2 đối xứng với các đường thẳng đó qua các đường phân giác tương ứng cũng đồng quy.
2. Qua các điểm A,D cùng nằm trên 1 đường tròn kẽ các tiếp tuyến cắt nhau tại S. Trên cung AD lấy các điểm B,C. Các đường thẳng AC, BD cắt nhau tại P; các đường thẳng AB,CD cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua S.
3. Trên các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy các điểm A1,B1,C1. CMR nếu các đường thẳng kẻ qua đỉnh của tam giác A1B1C1 vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác ABC đồng quy tại 1 điểm thì các đường thẳng kẻ qua các đỉnh của tam giác ABC vuông góc với các cạnh tương ứng của tam giác A1B1C1 cũng đồng quy tại 1 điểm.
4. Trên 1 đường thẳng lấy 3 điểm E,C,A và trên 1 đường thẳng khác lấy 3 điểm B,F,D. Gọi giao điểm của các đường thẳng AB, ED; CD,AF; EF, BC lần lượt là L,M,N. Chứng minh L,M,N thẳng hàng.
5. Điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , các điểm A1,B1,C1 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thằng BC, AC, AB. Chứng minh A1,B1,C1 thẳng hàng.
6. Trong tam giác ABC vuông, kẻ đường cao CK, trong tam giác ACK kẻ phân giác CE. Gọi D là trung điểm AC, F là giao điểm DE và CK. Chứng minh BF song song CE.
7. Cho tam giác ABC, các đường thẳng song song với nhau đi qua 3 điểm A,B,C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại A1,B1,C1. Chứng minh trọng tâm các tam giác ABC1, BCA1, CAB1 thẳng hàng.
8. Cho tứ giác ABCD . Gọi M,N lần lượt là trung điểm AC,BD và N#M. Đưởng thẳng MN cắt AB, CD lần lượt tại M1,N1. Chứng minh nếu MM1=NN1 thì AD song song BC.
9. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng các đường tròn nội tiếp trong các tam giác ABC, ACD tiếp xúc vs AC tại cùng 1 điểm khi và chỉ khi AB+CD = BC +AD.
10. Cho tam giác ABC vuông tại C. Trên cạnh huyền AB lấy điểm X. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của X lên AC,BC. Tìm vị trí của X để tam giác CMXN lớn nhất.
11. Cho hình chữ nhật ABCD. Trên cạnh BC lấy điểm K sao cho BK=4KC, trên cạnh CD lấy điểm M sao cho CM=4MD. Hỏi tỉ số BC:CD bằng bao nhiều thì góc KAM sẽ lớn nhất?
12. Trên mặt phẳng cho 1 số hữu hạn các điểm, đồng thời mỗi đường thẳng đi qua 2 trong số những điểm đã cho chứa thêm 1 điểm đã cho nữa. CM tất cả các điểm đã cho đều nằm trên 1 đường thẳng,
13. Trên mặt phẳng cho 1 số hữu hạn các đường thẳng từng đôi một ko song song với nhau, đồng thời qua giao điểm của 2 đường thẳng bất kì có thêm 1 đường thẳng nữa trong số đã cho đi qua. Chứng minh rằng tất cả các đường thằng đã cho đồng quy tại 1 điểm.
14. Trên mặt phẳng cho n điểm mà diên tích của mọi tam giác với các đỉnh tại các điểm đã cho không lớn hơn 1. CMR tất cả các điểm đó có thể đặt trong 1 tam giác có diện tích bằng 4.


Ghi chú: Trong những bài này, 1 số phải sử dụng định lý Xeva và Menelauyt.
Giải đc 1 bài cũng trình bày ra giúp mình nha. Thanks

1.sử dụng định lý ceva sin ta có
[TEX]\frac{{\sin \widehat {{A_1}AC}}}{{\sin \widehat {{A_1}AB}}}.\frac{{\sin \widehat {{B_1}BA}}}{{\sin \widehat {{B_1}BC}}}\frac{{\sin \widehat {{C_1}CB}}}{{\sin \widehat {{C_1}CA}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sin \widehat {{A_2}AB}}}{{\sin \widehat {{A_2}AC}}}.\frac{{\sin \widehat {{B_2}BC}}}{{\sin \widehat {{B_2}BA}}}\frac{{\sin \widehat {{C_2}CA}}}{{\sin \widehat {{C_2}CB}}} = 1[/TEX]
do đó hiển nhiên AA2;BB2;CC2 đồng quy
2.Ta sẽ chứng minh AP;DP và QS đồng quy
không giảm tổng quát giả sử thứ tự điểm là A,B,C,D, trường hợp sau đây xét B;C cùng thuộc một cung (nhỏ hoặc lớn) còn trường hợp nó thuộc 2 cũng khác nhau làm tương tự
áp dụng định lý cava sin ta cần chứng minh
[TEX]\frac{{\sin \widehat {PAQ}}}{{\sin \widehat {PAD}}}.\frac{{\sin \widehat {PDA}}}{{\sin \widehat {PDQ}}}\frac{{\sin \widehat {DQS}}}{{\sin \widehat {AQS}}} = 1[/TEX]
điều này hiển nhiên vì ta có
[TEX]\begin{array}{l}\widehat {PAQ} = \widehat {PDQ};\widehat {PAD} = \widehat {QDS} = > \frac{{\sin \widehat {DQS}}}{{\sin \widehat {PAD}}} = \frac{{\sin \widehat {DQS}}}{{\sin \widehat {QDS}}} = \frac{{SD}}{{QS}}\\\widehat {PDA} = \widehat {QAS} = > \frac{{\sin \widehat {PDA}}}{{\sin \widehat {AQS}}} = \frac{{\sin \widehat {QAS}}}{{\sin \widehat {AQS}}} = \frac{{QS}}{{AS}}\\ = > \frac{{\sin \widehat {PAQ}}}{{\sin \widehat {PAD}}}.\frac{{\sin \widehat {PDA}}}{{\sin \widehat {PDQ}}}\frac{{\sin \widehat {DQS}}}{{\sin \widehat {AQS}}} = \frac{{SD}}{{QS}}.\frac{{QS}}{{AS}} = 1 \end{array}[/TEX]
suy ra dpcm

3.giả sử các đt qua A1;B1;C1 cắt nhau tại M và hai đt qua A;B vuông góc với C1B1;Á;C1 cắt nhau tại N, ta chứng minh đt qua Cx vuông góc A1B1 cũng cắt nhau tại N, áp dụng đl cavasin và góc bằng nhau ta có
[TEX]\begin{array}{l}\frac{{\sin \widehat {M{A_1}{B_1}}}}{{\sin \widehat {M{A_1}{C_1}}}}.\frac{{\sin \widehat {M{C_1}{A_1}}}}{{\sin \widehat {M{C_1}{B_1}}}}\frac{{\sin \widehat {M{B_1}{C_1}}}}{{\sin \widehat {M{B_1}{A_1}}}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{\sin \widehat {xCB}}}{{\sin \widehat {CBN}}}.\frac{{\sin \widehat {NBA}}}{{\sin \widehat {BAN}}}\frac{{\sin \widehat {NAC}}}{{\sin \widehat {xCA}}} = 1\\\end{array}[/TEX]

 

[nerversaynever]

4. Trên 1 đường thẳng lấy 3 điểm E,C,A và trên 1 đường thẳng khác lấy 3 điểm B,F,D. Gọi giao điểm của các đường thẳng AB, ED; CD,AF; EF, BC lần lượt là L,M,N. Chứng minh L,M,N thẳng hàng.
5. Điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , các điểm A1,B1,C1 là chân đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thằng BC, AC, AB. Chứng minh A1,B1,C1 thẳng hàng.
6. Trong tam giác ABC vuông, kẻ đường cao CK, trong tam giác ACK kẻ phân giác CE. Gọi D là trung điểm AC, F là giao điểm DE và CK. Chứng minh BF song song CE.
7. Cho tam giác ABC, các đường thẳng song song với nhau đi qua 3 điểm A,B,C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại A1,B1,C1. Chứng minh trọng tâm các tam giác ABC1, BCA1, CAB1 thẳng hàng.

Bài 4: bổ đề : tự chứng minh @@: cho 2 đường thẳng Ox; Oy không trùng nhau; trên tia Ox lấy 3 điểm A,B,C trên Oy lấy 3 điểm A';B',C' khi đó [TEX]\left( {OABC} \right) = \left( {OA'B'C'} \right) \Leftrightarrow {\rm{AA}}';BB';CC' - dong - quy - hoac - song - song[/TEX]
trở lại bài toán

Áp dụng ĐL menelauyt cho
tam giác XBL với cát tuyến ECA , Tam giác DLY với cát tuyến ECA; tam giác BXD với cát tuyến ENF; tam giác BYD với cát tuyến FMA có
[TEX]\begin{array}{l}\frac{{\overline {CX} }}{{\overline {CB} }}\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AL} }}\frac{{\overline {EL} }}{{\overline {EX} }} = 1(1)\\\frac{{\overline {CY} }}{{\overline {CD} }}\frac{{\overline {ED} }}{{\overline {EL} }}\frac{{\overline {AL} }}{{\overline {AY} }} = 1(2)\\\frac{{\overline {NX} }}{{\overline {NB} }}\frac{{\overline {FB} }}{{\overline {FD} }}\frac{{\overline {ED} }}{{\overline {EX} }} = 1(3)\\\frac{{\overline {MY} }}{{\overline {MD} }}\frac{{\overline {FD} }}{{\overline {FB} }}\frac{{\overline {AB} }}{{\overline {AY} }} = 1(4)\end{array}[/TEX]
suy ra
[TEX]\left( 1 \right)/\left( 3 \right) = \left( 4 \right)/\left( 2 \right) - > rut - gon \Leftrightarrow \frac{{\overline {CX} }}{{\overline {CB} }}:\frac{{\overline {NX} }}{{\overline {NB} }} = \frac{{\overline {CD} }}{{\overline {CY} }}:\frac{{\overline {MD} }}{{\overline {MY} }} \Leftrightarrow \left( {CNXB} \right) = \left( {CMDY} \right) \Leftrightarrow MN;DY;DX - dong - quy = > dpcm[/TEX]
Bài 5
[TEX]\begin{array}{l}h1:\widehat {PNF} + \widehat {FNM} = \widehat {FAP} + 180 - \widehat {FCB} = {180^0}\\h2:\widehat {PNF} + \widehat {FNM} = \widehat {FAB}\widehat { + FCM} = {180^0} - \widehat {ABF} + \widehat {FCM} = {180^0}\end{array}[/TEX]

bài 6:

Đầu tiên thấy rằng tam giác CBE cân tại B vì BEC=EAC+ACE=CAH+BCH=BCE
kẻ BF' song song với CE cần chứng minh F' trùng F
Áp dụng định lý menelauyt cần chứng minh F';E;D thẳng hàng
[TEX]\begin{array}{l}\frac{{\overline {EH} }}{{\overline {EA} }}\frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DC} }}\frac{{\overline {FC} }}{{\overline {FH} }} = 1\\\frac{{\overline {EH} }}{{\overline {EA} }} = - \frac{{CH}}{{CA}} = - \frac{{BH}}{{BC}}\\\frac{{\overline {FC} }}{{\overline {FH} }} = \frac{{\overline {BE} }}{{\overline {BH} }}\\ = > \frac{{\overline {EH} }}{{\overline {EA} }}\frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DC} }}\frac{{\overline {FC} }}{{\overline {FH} }} = \frac{{BH}}{{BC}}.\frac{{\overline {BE} }}{{\overline {BH} }} = 1\end{array}[/TEX]
dpcm

bài 7: chứng minh bằng vecto:
nhận xet 1: cho 3 vecto a;b;c cùng phương khi đó luôn tồn tại số k sao cho a+b=k(a+c) hoặc a+c=k(a+b) - hiển nhiên )
nhận xét 2:
với tam giác ABC và A'B'C' có trọng tâm lần lượt là G;G' ta luôn có 3vtGG'=vtAA'+vtBB'+vtCC' (dễ)
trở lại bài toán ta gọi G1 là trọng tâm tan giác A1BC; G2 là trọng tâm tam giác B1AC; G3 là trọng tâm tam giác C1AB
khi đó ta có
[TEX]\begin{array}{l}3vt{G_1}{G_2} = vt{A_1}A + vtB{B_1} + vtCC = vt{A_1}A + vtB{B_1}\\3vt{G_1}{G_3} = vt{A_1}A + vtC{C_1} + vtBB = vt{A_1}A + vtC{C_1}\end{array}[/TEX]
do AA1 song song với BB1;CC1 nên sử dụng nhạn xét 1 ta suy ra đpcm