[Toán 8] Phân tích đa thức thành nhân tử

[bigbang195]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[duynhan1]

[TEX]a^3(b-c) + b^3 (c-a ) + c^3 ( a-b) \\= a^3(b-c) - b^3 (a-b +b -c ) + c^3 ( a-b) \\= (a-b) (b-c) ( a^2 + b^2 + ab - (b^2 + c^2 + bc) )\\= (a-b)(b-c)(a-c)(a+b+c)[/TEX]

 

[bigbang195]

hay lắm, tiếp.

Rút gọn

Phân tích thành nhân tử.

Phân tích thành nhân tử :

 

[quan8d]

Đặt $$a+b=x, b+c=y, c+a=z thì a-b=z-y, b-c=x-z, c-a=y-x$$
Suy ra: A= $$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a} = \frac{z-y}{x}+\frac{x-z}{y}+\frac{y-x}{z}$$
Nhân chia cộng trừ, thực hiện các phép biến đổi đại số ta được:
$$A= \frac{(x-y)(y-z)(z-x)}{xyz}=\frac{(a-c)(b-a)(c-b)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$$

Rút gọn

Ta có: $$\frac{ab}{(2b+c)(2c+a)}+\frac{bc}{(2c+a)(2a+b)}+ \frac{ca}{(2a+b)(2b+c)}+\frac{9}{2}.\frac{abc}{ (2a+b)(2b+c)(2c+a) }$$
$$= \frac{ab(2a+b)+bc(2b+c)+ca(2c+a)}{(2a+b)(2b+c)(2c+a) }+\frac{9}{2}.\frac{abc}{(2a+b)(2b+c)(2c+a) }$$
$$= \frac{4(a^2b+b^2c+c^2a)+2(ab^2+bc^2+ca^2)+9abc}{ 2(2a+b)(2b+c)(2c+a) }$$
$$= \frac{(2a+b)(2b+c)(2c+a)}{2(2a+b)(2b+c)(2c+a)}$$
$$= \frac{1}{2}$$

 

[bigbang195]

Chứng minh

Chứng minh

Phân tích

Phân tích

Phân tích:

 

[son_9f_ltv]

Phân tích

[TEX]=(a+b)(b+c)(c+a)[/TEX]

 

[bigbang195]

Phân tích đa thức thành nhân tử :

Cực sốc

Còn mạnh hơn :


Phân tích

Phân tích:

 

[quan8d]

Phân tích:

abc+a+b+c-ab-bc-ca-1
= abc-ab-ac+a-bc+b+c-1
= ab(c-1)-a(c-1)-b(c-1)+(c-1)
= (ab-a-b+1)(c-1)
= (a-1)(b-1)(c-1)

Phân tích

ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)+3abc
=ab(a+b+c)+bc(a+b+c)+ca(a+b+c)
=(ab+bc+ca)(a+b+c)

Phân tích:

$$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{b^2-ab+a^2}+2(a+b+c)$$
$$=\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+b+c+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+a+c+\frac{c^3}{b^2-ab+a^2}+a+b$$
$$=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{b^2-ab+a^2}$$
$$=(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}+\frac{1}{b^2-ab+a^2})$$

 

[01263812493]

Phân tích đa thức thành nhân tử :

Cực sốc

$$=\frac{a^3-b^3}{a^2+b^2}-\frac{a^3-b^3}{b^2+c^2}-\frac{c^3-a^3}{b^2+c^2}+\frac{c^3-a^3}{c^2+a^2}$$

$$=(a^3-b^3)(\frac{1}{a^2+b^2}-\frac{1}{b^2+c^2})- (c^3-a^3)(\frac{1}{b^2+c^2}-\frac{1}{c^2+a^2})$$

$$=(a^3-b^3).\frac{c^2-a^2}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}-(c^3-a^3).[\frac{a^2-b^2}{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}]$$

$$=(a-b)(a^2+ab+b^2).\frac{(c-a)(c+a)}{(a^2+b^2)(b^2+c^2)}-(c-a)(c^2+ac+a^2).\frac{(a-b)(a+b)}{(b^2+c^2)(c^2+a^2)}$$

$$=\frac{(a-b)(c-a)}{(b^2+c^2)}[\frac{(a^2+ab+b^2)(c+a)}{a^2+b^2}-\frac{(c^2+ac+a^2)(a+b)}{c^2+a^2}]$$
___________________________________

 

[james_bond_danny47]

Topic cua may ban hay day.Mấy bạn có bao giờ thắc mắc tại sao ta phải phân tích đa thức thành nhânt ử để làm gì không, mình cho mấy bạn một điạ chỉ để tham khảo: http://toantuoitho.vn/Default.aspx?tabid=150&colid=1711&magid=2&padid=251222a. Bạn nào mà có Nâng cao phat triển thì xem chuyên đề, hay lắm, hay nhất là Phương pháp hệ số bất định. Phương pháp này thường gặp khi thi lắm đó

$$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{b^2-ab+a^2}+2(a+b+c)$$
$$=\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+b+c+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+a+c+\frac{c^3}{b^2-ab+a^2}+a+b$$
$$=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{b^2-ab+a^2}$$
$$=(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}+\frac{1}{b^2-ab+a^2})$$

Cái naỳ mà đưa về giải và biện luận nghiệm ptr thì tuyệt vời biết mấy. Chắc sẽ trở thành một bài toán hay và khó đấy.

$$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{b^2-ab+a^2}+2(a+b+c)$$
$$=\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+b+c+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+a+c+\frac{c^3}{b^2-ab+a^2}+a+b$$
$$=\frac{a^3+b^3+c^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{a^3+b^3+c^3}{b^2-ab+a^2}$$
$$=(a^3+b^3+c^3)(\frac{1}{b^2-bc+c^2}+\frac{1}{c^2-ca+a^2}+\frac{1}{b^2-ab+a^2})$$

Mình có 1 ý tưởng hay cho bài toán này: a+b+c=0 hoặc a=b=c khi và chỉ khi $$\frac{a^3}{b^2-bc+c^2}+\frac{b^3}{c^2-ca+a^2}+\frac{c^3}{b^2-ab+a^2}+2(a+b+c)$$ =0

 

[big.bang]

Phân tích

 

[chochobo]

CM

[TEX]\sum \frac{a^2(b-c)}{b+c-a} + \frac{(a+b+c)^2(a-b)(b-c)(c-a)}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}[/TEX] =0

 

[big.bang]

CM

[TEX]\sum \frac{a^2(b-c)}{b+c-a} + \frac{(a+b+c)^2(a-b)(b-c)(c-a)}{(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}[/TEX] =0

Quy đồng đặt [TEX]x=a+b+c.[/TEX] ta có

[TEX]\sum a^2(b-c)(x-2b)(x-2c)=\sum a^2(b-c)(x^2-2b-2c+4bc)[/TEX]

[TEX]=-x^2\prod (a-b)+2\sum (a^2b^2-a^2c^2)+4abc\sum (ab-ac)[/TEX]

[TEX]=-x^2\prod (a-b)+0+0[/TEX]

điều phải chứng minh

 

[bigbang195]

Phân tích

Phân tích

Phân tích

 

[tell_me_goobye]

Phân tích

Phân tích

[TEX]\sum a^3b^2 -\sum a^2b^3 = \sum a^2b^2(a-b) = (a-b)(a^2b^2 -b^2c^2) +(a-c)(b^2c^2-a^2c^2)[/TEX] =......=(a-b)(a-c)(b-c)(ab+bc+ac)

 

[quan8d]

Phân tích

$$\sum a^4b^3 - \sum a^3b^4$$
$$= b^3(a-b)(a^3-c^3) - c^3(a-c)(a^3-b^3)$$
$$= (a-b)(a-c)(b-c)(a^2b^2+a^2bc+a^2c^2+ab^2c+abc^2+b^2c^2)$$
$$= \frac{1}{2}(a-b)(a-c)(b-c)\left[b^2(a+c)^2+c^2(a+b)^2+a^2(b+c)^2 \right]$$