[toán 8] hay và khó

Q

quan8d

816554 said:
cho a,b,c dương; a+b+c = 1
chứng minh:
[TEX](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \geq 64[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[TEX](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \geq 64[/TEX]
Do a+b+c=1 nên BĐT tương đương với :
[tex] (2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c) \geq 64abc [/tex]
Áp dụng bđt Cô si cho 4 số ko âm ta có :
[tex] 2a+b+c = a+a+b+c \geq4\sqrt[4]{a.a.b.c} = 4\sqrt[4]{a^2bc}[/tex] >0
Tương tự ta cũng có :
[tex] 2b+a+c \geq 4\sqrt[4]{ab^2c}[/tex] >0
[tex] 2c+a+b \geq 4\sqrt[4]{abc^2}[/tex] >0
Nhân vế theo vế 3 BĐT trên ta được :
[tex] (2a+b+c)(a+2b+c)(a+b+2c) \geq 64 abc [/tex]
Vậy [TEX](1+\frac{1}{a})(1+\frac{1}{b})(1+\frac{1}{c}) \geq 64[/TEX]
 
8

816554

đúng rối, mình post típ nha!
giải phương trình nghiệm nguyên:
[TEX]x(x+1)(x+7)(x+8) = y^2[/TEX]
 
0

0915549009

Theo mình thì PT này vô nghiệm bạn ah!! Không bjk có đúng hok?
Nhưng mình nghĩ ko tìm đc x, y nguyên đâu
 
Q

quan8d

mọi người nhầm hết cả rồi . Bài này có nghiệm đấy chứ !

816554 said:
đúng rối, mình post típ nha!
giải phương trình nghiệm nguyên:
[TEX]x(x+1)(x+7)(x+8) = y^2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ta có :[tex] x(x+1)(x+7)(x+8) = (x^2+8x)(x^2+8x+7) = y^2 (1)[/tex]
Đặt [tex]x^2+8x = a[/tex] thì [tex]a(a+7)=y^2 (2)[/tex]
Vì [tex]y [/tex] là nghiệm của (1) nên [tex] -y[/tex] cũng là nghiệm của (1). Giả sử [tex]y \in \ N[/tex]
[tex](2) \Leftrightarrow 4a(a+7) = 4y^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4a^2+28a = 4y^2[/tex]
[tex]\Leftrightarrow 4a^2+28a+49 = 4y^2+49[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2a+7)^2 - 4y^2 = 49[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (2a+7-2y)(2a+7+2y)=49 (3)[/tex]
Nếu[tex] y = 0 [/tex] thì giải (3) ta được [tex]a = 0 , a = -7[/tex]
suy ra
[TEX]\left[\begin{x(x+8)=0}\\{x(x+8) = -7} [/TEX]
\Leftrightarrow[TEX]\left[\begin{\left[\begin{x=0}\\{x=-8}}\\{\left[\begin{x=-1}\\{x=-7}} [/TEX]
\Rightarrow[tex] x={-8;-7;-1;0}, y=0 [/tex]
Nếu [tex] y >0 [/tex] thì giải (3) ta được [tex]a = 9, a = -16[/tex]
Tương tự trên cũng có [tex]x=1, x=-9, x=-4[/tex]
\Rightarrow [tex]y=\pm \ 12[/tex]
Vậy nghiệm của phương trình là [tex]{x={-8;-7;-1;0} , y=0}[/tex]
[tex]{x={1;-9;-4}, y= \pm \ 12}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
8

816554

tớ làm thử thế này:
ta có x(x+1) chia hết cho 2
(x+7)(x+8) chia hết cho 2
\Rightarrow tích sẽ chia hết cho 4 mà x(x+1)(x+7)(x+8) = y^2 \Rightarrow y^2 chia hết cho 16
ta có:
[TEX]x(x+1)(x+7)(x+8) = y^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]x^4 + 16x^3 + 71x^2+ 56x = y^2[/TEX]
ta có [TEX]16x^3[/TEX] chia hết cho 4
56x chia hết cho 4
\Rightarrow[TEX] x^4 +71x^2[/TEX] chia hết cho 4
\Leftrightarrow [TEX]x^2[/TEX] chia hết cho 4 \Leftrightarrow x chia hết cho 2
gọi 2k là x, 2m là y (k,m nguyên, m chia hết cho 2)
giải ra ta đc:
[TEX]4k^4 + 32k^3 + 71k^2+28k = m^2[/TEX]
mà tổng này chia hết cho 4 nhưng [TEX]71k^2[/TEX] không chia hết cho 4 \Rightarrow không có nghiệm k, m nào thoả mãn \Rightarrow không có x,y nào thoả mãn

quan8d said:
mọi người nhầm hết cả rồi . Bài này có nghiệm đấy chứ !
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
nghiệm là bao nhiêu?
 
8

816554

bài tiếp nè: tìm GTLN của biểu thức:
[TEX]\frac{x^4+x+1+32\sqrt[4]{x^3-4x^2+7x-12}}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX]
P/s: bài kia quên mất 144 là bình phuơng của 12 :p
 
0

0915549009

Bài nỳ khó wa', mình chưa làm đc
có aj làm đc chưa? post lên đj để pà con tham khảo vs
đề có cả căn 4 kja`, ngại làm lắm (rắc rối mà)
Nếu là căn 2 thì tốt bjk bao nhjêu
 
Last edited by a moderator:
Q

quan8d

816554 said:
bài tiếp nè: tìm GTLN của biểu thức:
[TEX]\frac{x^4+x+1+32\sqrt[4]{x^3-4x^2+7x-12}}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX]
P/s: bài kia quên mất 144 là bình phuơng của 12 :p
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Ta có:
A=[TEX]\frac{x^4+x+1+32\sqrt[4]{x^3-4x^2+7x-12}}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX]
=[TEX]\frac{x^4+x+1+32\sqrt[4]{(x-3)(x^2-x+4)}}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX]
=[TEX]\frac{x^4+x+1+4\sqrt[4]{8^4(x-3)(x^2-x+4)}}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX]
=[TEX]\frac{x^4+x+1+4\sqrt[4]{16(16x-48)16(x^2-x+4)}}{x^4+x^2+16x-11} \leq \frac{x^4+x+1+(16+16x-48+16+x^2-x+4)}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX] = [TEX]\frac{x^4+x^2+16x-11}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX] =[tex]1[/tex]
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [tex]16x-48 = x^2-x+4=16 \Leftrightarrow x=4[/tex]
Vậy [tex]Max A = 1 \Leftrightarrow x=4[/tex]
 
Last edited by a moderator:
8

816554

quan8d said:
Ta có:
A=[TEX]\frac{x^4+x+1+32\sqrt[4]{x^3-4x^2+7x-12}}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX]
=[TEX]\frac{x^4+x+1+32\sqrt[4]{(x-3)(x^2-x+4)}}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX]
=[TEX]\frac{x^4+x+1+4\sqrt[4]{8^4(x-3)(x^2-x+4)}}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX]
=[TEX]\frac{x^4+x+1+4\sqrt[4]{16(16x-48)16(x^2-x+4)}}{x^4+x^2+16x-11} \leq \frac{x^4+x+1+(16+16x-48+16+x^2-x+4)}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX] = [TEX]\frac{x^4+x^2+16x-11}{x^4+x^2+16x-11}[/TEX] =[tex]1[/tex]
Dấu "=" xảy ra \Leftrightarrow [tex]16x-48 = x^2-x+4=16 \Leftrightarrow x=4[/tex]
Vậy [tex]Max A = 1 \Leftrightarrow x=4[/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

đúng rồi, mình post bào típ nha, bài này dễ thôi
cho [TEX]a,b,c \geq \frac{-1}{4}[/TEX], a+b+c =1
c/m: [TEX]\sqrt{4a+1} + \sqrt{4b+1} + \sqrt{4c+1} < 5 [/TEX]lưu ý(c/m bằng 2 cách)
 
0

0915549009

Cách 1:Nhân 2 vế với 2
[TEX]2\sqrt{4a+1}+2\sqrt{4b+1}+2\sqrt{4c+1}<10[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow 4a+1-2\sqrt{4a+1}+1+4b+1-2\sqrt{4b+1}+1+4c+1-2\sqrt{4c+1}+1 >0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (\sqrt{4a+1}-1)^2+(\sqrt{4b+1}-1)^2+(\sqrt{4c+1}-1)^2>0 [/TEX]
Cách 2: Bình phương 2 vế, Cm tương tự như trên
 
Last edited by a moderator:
M

ms.sun

816554 said:
đúng rồi, mình post bào típ nha, bài này dễ thôi
cho [TEX]a,b,c \geq \frac{-1}{4}[/TEX], a+b+c =1
c/m: [TEX]\sqrt{4a+1} + \sqrt{4b+1} + \sqrt{4c+1} < 5 [/TEX]lưu ý(c/m bằng 2 cách)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
chị làm thử cách khác xem,không biết có đúng không
[TEX]\sqrt{4a+1} =\frac{1}{\sqrt{\frac{7}{3}}}.\sqrt{(4a+1).\frac{7}{3}} =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.\sqrt{(4a+1).\frac{7}{{3} [/TEX]
[TEX] \leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.\frac{4a+1+\frac{7}{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.\frac{12a+3+7}{6}[/TEX]
Vậy [TEX]VT \leq \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}(\frac{12(a+b+c)+3.3+7.3}{6}) =\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}.7=\sqrt{21}<5[/TEX]
đẳng thức xảy ra khi: [TEX]4a+1=\frac{7}{3} \Rightarrow a=\frac{1}{3} \Rightarrow a=b=c=\frac{1}{3}[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
B

bigbang195

Quá đúng :D


còn cách 2 áp dụng Cauchy-Schwarz

[TEX]VT^2 \le 3(4.(a+b+c)+3)=21[/TEX] suy ra đpcm
 
8

816554

bài mới đây:
1. giải hệ pt:
-mx + y = 3
[TEX]\left|\left|x+1 \right| \right| +y=2[/TEX]
tìm m sao cho hpt chỉ có 1 nghiệm và tìm nghiệm đó

2. tìm [TEX]f(x)= ax^2 + bx + cx [/TEX]biết
f(x+y)= f(x)+f(y)+xy
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom