[toan11Topic BDT lớp 11!!!:d:D:D:D

Q

quyenuy0241

1 con khó khăn hơn chút:

[tex]Rumania-TST-2008[/tex]

[tex]ab+bc+ac=3...-> a,b,c>0 CMR:[/tex]

[tex] \frac{1}{1+c^2(a+b)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+a^2(b+c)} \le \frac{1}{abc} [/tex]
 
Q

quyenuy0241

Con này càng dễ:

[tex]a,b,c>0.. abc \ge 1 .CMR:[/tex]
[tex](a+\frac{1}{a+1})(b+\frac{1}{b+1})(c+\frac{1}{c+1} ) \ge \frac{27}{8}[/tex]
[tex]Ukraine- Mathematic-Festival-2007[/tex]
 
R

rua_it

quyenuy0241 said:
1 con khó khăn hơn chút:

[tex]Rumania-TST-2008[/tex]

[tex]ab+bc+ac=3...-> a,b,c>0 CMR:[/tex]

[tex] \frac{1}{1+c^2(a+b)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+a^2(b+c)} \le \frac{1}{abc} [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]Schwarz \Rightarrow LHS =\sum_{cyclic} \frac{1}{1+c^2.(a+b)} \leq \frac{9}{3+(a+b).c^2+(b+c).a^2+(c+a).b^2}[/tex]

Cần chứng minh [tex]3+(a+b).c^2+(b+c).a^2+(c+a).b^2 \geq 9abc[/tex]

Thật vậy,

[tex]LHS=\sum_{cyclic} a^2.(b+c)+3=\sum_{sym} a^2b=ab.(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)+3=(a+b+c).(ab+bc+ca)-3.abc+3[/tex]

[tex]Am-Gm \Rightarrow 3=\sum_{sym} ab \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow abc \leq 1[/tex]

BDT cần chứng minh [tex]\Leftrightarrow (a+b+c).(ab+bc+ca) \geq 9[/tex]

[tex]\Leftrightarrow a+b+c \geq 3[/tex]

Bất đẳng thức cuối luôn đúng theo [tex]Am-Gm[/tex]

Vậy ta được đpcm.:)
 
R

rua_it

quyenuy0241 said:
1 con khó khăn hơn chút:

[tex]Rumania-TST-2008[/tex]

[tex]ab+bc+ac=3...-> a,b,c>0 CMR:[/tex]

[tex] \frac{1}{1+c^2(a+b)}+\frac{1}{1+b^2(a+c)}+\frac{1}{1+a^2(b+c)} \le \frac{1}{abc} [/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex](gt)&Am-Gm \Rightarrow \sum_{sym} ab \geq 3.\sqrt[3]{a^2b^2c^2}[/tex]

[tex]\Rightarrow 1\geq abc[/tex]

[tex] \Rightarrow LHS=\sum_{cyclic} \frac{1}{1+c^2.(a+b)} \leq \sum_{cyclic} \frac{1}{abc+c^2.(a+b)}=\sum_{cyclic} \frac{1}{abc+c^2a+c^2b}[/tex]

[tex]=\sum_{cyclic} \frac{1}{c.\sum_{sym} ab}=\frac{1}{3}.\sum_{cyc} \frac{1}{a}=RHS[/tex]

Hay hơn nhở :confused:
 
R

rua_it

quyenuy0241 said:
Mở đầu = 1 bài dễ :

Mấy con này ở THCS nhưng cứ mở đầu thế đã!!!


[tex]1+\frac{3}{xy+yz+xz}\ge \frac{6}{x+y+z}....voi ,,,a,b,c \neq 0 [/tex][/tex]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]Note: (a+b+c)^2 =a^2+b^2+c^2+2.(ab+bc+ca) \geq 3.(ab+bc+ca)[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS=1+\frac{3}{xy+yz+zx} \leq 1+\frac{3}{\frac{1}{3}.(x+y+z)^2}=1+\frac{9}{(x+y+z)^2}[/tex]

Cần chứng minh [tex]1+\frac{9}{xy+yz+zx} \geq \frac{6}{x+y+z}[/tex]

[tex]\Leftrightarrow1-\frac{6}{x+y+z}+\frac{9}{(x+y+z)^2} \geq 0[/tex]

[tex]\Leftrightarrow (1-\frac{3}{x+y+z})^2 \geq 0[/tex]

Bất đẳng thức cuốn luôn đúng.

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi [tex]x=y=z=1[/tex]

Còn bài cuối ai thích thì làm đi:cool:.
 
Last edited by a moderator:
D

dinhthitrang

Bất đẳng thức lượng giác

Câu này trong đề thi hsg toán tỉnh Thanh Hóa năm nay, mọi người chỉ mình cách giải nha!

Với tam giác ABC không tù, CMR:
tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)+tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2)\geq 10 * (căn 3)/9
Khi nào dấu "=" xảy ra?
 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

dinhthitrang said:
Câu này trong đề thi hsg toán tỉnh Thanh Hóa năm nay, mọi người chỉ mình cách giải nha!

Với tam giác ABC không tù, CMR:
tan(A/2)+tan(B/2)+tan(C/2)+tan(A/2)*tan(B/2)*tan(C/2)\geq 10 * (căn 3)/9
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
[tex]Xet:f(x)=tanx; \forall x \in\ (0;\frac{\pi}{2})[/tex]

[tex]\Rightarrow f"=2.\frac{sinx}{cos^3x}>0; \forall x \in\ (0;\frac{\pi}{2})[/tex]

\Rightarrow Áp dụng bất đẳng thức Jensen cho hàm lồi, ta có:

[tex]f(\frac{A}{2})+f(\frac{B}{2})+f(\frac{C}{2}) \geq 3.f(\frac{\frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}}{3}) \geq 3.f(\frac{\pi}{2}:3)=3.sin.\frac{\pi}{6}[/tex]

hay: [tex]tan.\frac{A}{2}+tan.\frac{B}{2}+tan.\frac{C}{2} \geq \sqrt{3}[/tex]

[tex]Note: tan(n.A).tan(n.B).tan(n.C)=tan(n.A)+tan(n.B)+tan(n.C)[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS=2.(tan\frac{A}{2}+tan.\frac{B}{2}+tan.\frac{C}{2}) \geq 2.\sqrt{3} \geq \frac{10}{9}.\sqrt{3}=RHS[/tex]

P/s: Vậy cóa đúng không nhở.:(
 
D

dinhthitrang

[tex]Note: tan(n.A).tan(n.B).tan(n.C)=tan(n.A)+tan(n.B)+tan(n.C)[/tex]
Hình như chỉ đúng với k nguyên thôi.
 
Last edited by a moderator:
S

silvery21

[TEX]a; b; c >0 tm a+b+c =1 [/TEX]

cm [TEX]\frac{a}{1+bc} +\frac{b}{1+ac} +\frac{c}{1+ba} \geq 9/10[/TEX]
 
Q

quyenuy0241

silvery21 said:
[TEX]a; b; c >0 tm a+b+c =1 [/TEX]

cm [TEX]A=\frac{a}{1+bc} +\frac{b}{1+ac} +\frac{c}{1+ba} \geq 9/10[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...


[tex]\frac{a}{1+bc}+\frac{81.(abc+a)}{100} \ge \frac{9a}{5}[/tex]

Các BDT khác tương tự :

[tex]\Rightarrow A \ge \frac{3(a+b+c)}{5}-\frac{81(a+b+c)}{100}-\frac{243abc}{100} \ge \frac{9}{10}[/tex]

[tex]Do-->a+b+c=1 \Rightarrow abc \le \frac{1}{27}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

Tiếp nhá:

Tìm giá trị lớn nhất ,

[tex]f(a,b,c)=a^3b+b^3c+c^3a [/tex]trên miền
[tex]D={{{{(a,b,c):a\ge 0,b \ge 0,c \ge0 , a+b+c=1}}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
R

rua_it

silvery21 said:
[TEX]a; b; c >0 tm a+b+c =1 [/TEX]

cm [TEX]\frac{a}{1+bc} +\frac{b}{1+ac} +\frac{c}{1+ba} \geq 9/10[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

[tex]Am-Gm \Rightarrow 1=a+b+c \geq 3\sqrt[3]{abc} \Rightarrow abc \leq \frac{1}{27}[/tex]

[tex]\Rightarrow LHS:= \frac{a}{1+bc}+\frac{b}{1+ac}+\frac{c}{1+ab}[/tex]

[tex]=\frac{a^2}{a+abc}+\frac{b^2}{b+abc}+\frac{c^2}{c+abc} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3abc} \geq \frac{1}{1+\frac{3}{27}}= \frac{9}{10}=RHS[/tex]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

Bài mới!
cho a,b,c thực không âm CMR:
[tex]\frac{a^2+16bc}{a^2+b^2}+\frac{b^2+16ac}{a^2+c^2}+\frac{a^2+16bc}{b^2+c^2} \ge 10 [/tex]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

Típ BDT!
[tex]a,b,c>0,a+b+c=1 [/tex]
CMR:
[tex]\frac{a^2+b^2+c^2}{ab+bc+ac}+3abc \ge \frac{10}{9}[/tex]
 
Q

quyenuy0241

Đơn giản hơn một chút !
[tex]a,b,c>0 ,a+b+c=1 [/tex]

[tex]CMR: \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\sqrt[3]{abc} \ge \frac{10}{9(a^2+b^2+c^2)}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

[tex]a,b,c>0 ,a+b+c=1 [/tex]

Tìm giá trị lớn nhất của: [tex]P=\sqrt{a^2+abc}+\sqrt{b^2+abc}+\sqrt{c^2+abc}+9abc [/tex]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

[tex]a,b,c>0 ,x+y+z=1 [/tex]
CMR:
[tex]\frac{x}{x+yz}+\frac{y}{y+xz}+\frac{z}{z+xy} \le \frac{9}{4}[/tex]
 
Last edited by a moderator:
Q

quyenuy0241

Tạm thời kết thúc ở đây mọi người làm xong post típ!

[tex]ab+bc+ac=abc ,a,b,c>0 CMR:[/tex]

[tex](a+b-c-1)(a-c+b-1)(b+c-a-1) \le 8[/tex]
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom