Giúp đỡ bài tập với

[dnasasaki]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho 2 số dương a,b thỏa mãn: a+b=1.CMR: (a+$$\frac{1}{a}$$)$$^2$$ + (b+$$\frac{1}{b}$$ ) \geq $$\frac{25}{2}$$
Bài 2:Cho 3 số dương có tổng = 1.CMR:Tổng 2 trong 3 số đó không nhỏ hơn 16 lần tích 3 số đó.
Bài 6: Cho 3 số dương có tổng = 4.CMR:Tổng 2 trong 3 số đó không nhỏ hơn tích 3 số đó.
Bài 7:CMR:$$\frac{a+b}{ab+c^2}$$ + $$\frac{b+c}{bc+a^2}$$ + $$\frac{c+a}{ac+b^2}$$ \leq $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$
Bài 8:Cho 3 số thỏa mãn:
$$\left\{\begin{array}{l} a+b+c = 2 \\ a^2+b^2+c^2 = 2 \end{array} \right.$$
CMR:0\leqa,b,c\leq$$\frac{4}{3}$$
Mình không biết viết thế nào cho công thức chuẩn nữa

 

[bingod]

Tớ thấy bài 1 phải là (b+$$\frac{1}{b}$$)$$^2$$................:-SS:-SS

 

[letrang3003]

Bài 7:CMR:$$\frac{a+b}{ab+c^2}+\frac{b+c}{bc+a^2} + \frac{c+a}{ac+b^2} \leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$$

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{c}-\frac{a+b}{c^2+ab}+\frac{1}{a}-\frac{b+c}{bc+a^2}+\frac{1}{b}-\frac{a+c}{ac+b^2} \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc}+\frac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge 0[/TEX]

giả sử [TEX]a \ge b \ge c \Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc} \ge 0[/TEX]. Ta cần chứng minh tiếp

[TEX]\frac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge 0[/TEX]

ta lại có[TEX] \frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge \frac{(b-a)(b-c)}{a^3+abc}[/TEX] do [TEX]a \ge b[/TEX]

nên ta chỉ cần chứng minh [TEX](a-b)(a-c)+(b-c)(b-a) \ge 0 [/TEX]
[TEX]=(a-b)(a-c-b+c)=(a-b)^2 \ge 0[/TEX]
Luôn đúng

 

[letrang3003]

Bài 1:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
[TEX](1+1)[\left(a+\frac{1}{a}\right )^2+\left(b+\frac{1}{b}\right )^2] \ge \left (a+b+\frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right) ^2 \ge \left (a+b+\frac{4}{a+b}\right)^2[/TEX]

thay[TEX] a+b=1 [/TEX]ta được điều phải chứng minh

 

[dnasasaki]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{c}-\frac{a+b}{c^2+ab}+\frac{1}{a}-\frac{b+c}{bc+a^2}+\frac{1}{b}-\frac{a+c}{ac+b^2} \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc}+\frac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge 0[/TEX]

giả sử [TEX]a \ge b \ge c \Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc} \ge 0[/TEX]. Ta cần chứng minh tiếp

[TEX]\frac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge 0[/TEX]

ta lại có[TEX] \frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge \frac{(b-a)(b-c)}{a^3+abc}[/TEX] do [TEX]a \ge b[/TEX]

nên ta chỉ cần chứng minh [TEX](a-b)(a-c)+(b-c)(b-a) \ge 0 [/TEX]
[TEX]=(a-b)(a-c-b+c)=(a-b)^2 \ge 0[/TEX]
Luôn đúng

Sao lại được giả sử a ≥ b ≥ c vậy.Còn trường hợp khác thì sao.VD:a\leqb\leqc

 

[mmmmmm0709]

Sao lại được giả sử a ≥ b ≥ c vậy.Còn trường hợp khác thì sao.VD:a\leqb\leqc[/FONT][/FONT]

vì a, b, c có vai trò như nhau nên giả sử a ≥ b≥ c dc

 

[dnasasaki]

Sao chúng có vai trò như nhau.Cô giáo mình cũng nói thế nhưng mình chưa hiểu gì cả.
Nếu a,b,c cùng< 0 thì $$c^3$$+abc <0 nên có cần a>0 không

 

[thanhson1995]

Sao chúng có vai trò như nhau.Cô giáo mình cũng nói thế nhưng mình chưa hiểu gì cả.
Nếu a,b,c cùng< 0 thì

+abc <0 nên có cần a>0 không

Vì nếu thay hoán vị a,b,c thì ta có 1 biểu thức mới giống biểu thức cũ.

 

[mmmmmm0709]

Bài 2:Cho 3 số dương có tổng = 1.CMR:Tổng 2 trong 3 số đó không nhỏ hơn 16 lần tích 3 số đó.

mình ghi lại đề : cho 3 số đó là a, b, c với a, b, c >0, a+b+c=1; CMR [TEX]a+b\geq 16abc[/TEX]
ta có [TEX]1= (a+b)+c \geq 2\sqrt[2]{(a+b)c[/TEX] => 1 \geq 4(a+b)c (bình phương 2 vế)
=> [TEX]a+b \geq 4c(a+b)^2 [/TEX]
mà [TEX](a+b)^2 \geq 4ab[/TEX] => [TEX]a+b \geq 16 abc[/TEX] => xong !

 

[bongma_tula]

Bài 2:Cho 3 số dương có tổng = 1.CMR:Tổng 2 trong 3 số đó không nhỏ hơn 16 lần tích 3 số đó.

goi 3 so do la a;b;c
Ta co: (a+b)^2\geq4ab\Rightarrow(a+b+c)^2\geq4(a+b)c \Rightarrow1\geq 4(a+b)c\Rightarrowa+b\geq4c(a+b)^2\Rightarrowa+b\geq16abc CM tuong tu

 

[dnasasaki]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{c}-\frac{a+b}{c^2+ab}+\frac{1}{a}-\frac{b+c}{bc+a^2}+\frac{1}{b}-\frac{a+c}{ac+b^2} \ge 0[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc}+\frac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge 0[/TEX]

giả sử [TEX]a \ge b \ge c \Leftrightarrow \frac{(c-a)(c-b)}{c^3+abc} \ge 0[/TEX]. Ta cần chứng minh tiếp

[TEX]\frac{(a-b)(a-c)}{a^3+abc}+\frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge 0[/TEX]

ta lại có[TEX] \frac{(b-a)(b-c)}{b^3+abc} \ge \frac{(b-a)(b-c)}{a^3+abc}[/TEX] do [TEX]a \ge b[/TEX]

nên ta chỉ cần chứng minh [TEX](a-b)(a-c)+(b-c)(b-a) \ge 0 [/TEX]
[TEX]=(a-b)(a-c-b+c)=(a-b)^2 \ge 0[/TEX]
Luôn đúng

Lời giải của bài toán này là phải giả sử a\geqb\geqc\geq0
Tại sao có thể giả sử nó \geq0 vậy.Còn trường hợp <0 @-)