Xin lời giải các bài toán khó về bất đẳng thức

C

congdayhi10

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1 Chứng minh: [TEX] \frac{1}{1.3}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{3.5}[/TEX]+...+[TEX]\frac{1}{2011.2013}[/TEX]<[TEX]\frac{1}{2}[/TEX]

Bài 2 Chứng minh: B=[TEX]\frac{2014}{2^3}[/TEX]+[TEX]\frac{2014}{3^3}[/TEX]+[TEX]\frac{2014}{4^3}[/TEX]+....+[TEX]\frac{2014}{n^3}[/TEX]<503.5 với n thuộc N và n>1

Bài 3 Cho x, y, z, t là các số dương. Chứng minh rằng: (x+y+z+t)([TEX]\frac{1}{x+y+z}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{y+z+t}[/TEX]+[TEX]\frac{1}{t+x+y}[/TEX]) [TEX]\geq[/TEX] [TEX]\frac{16}{3}[/TEX]. Dấu "=" xảy ra khi nào?

Bài 4: Với x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng [TEX]\frac{3}{x+y}[/TEX]+[TEX]\frac{3}{y+z}[/TEX]+[TEX]\frac{3}{x+z}[/TEX] [TEX]\leq\[/TEX] [TEX]\frac{3}{2x}[/TEX] + [TEX]\frac{3}{2y}[/TEX] + [TEX]\frac{3}{2z}[/TEX]. Dấu "=" xảy ra khi nào?

Tiện có bạn nào trình bày bài này đk ko. Mình ra số ban đầu là 2.5 nhưng ko biết phải trình bày kiểu j.

Bài 5: Một số thập phân có phần nguyên là số có một chữ số. Nếu viết thêm chữ số 2 vào bên trái số đó, sau đó chuyển dấy phẩy sang trái một chữ số thì được số mới bằng 9/10 số ban đầu. Tìm số thập phân ban đầu.

Giúp mình với. Mình sắp thi rồi. Bạn nào giỏi thì chứng minh hộ mình nhé. Thanks.:D
 
Last edited by a moderator:
N

naive_ichi

Lần sau bạn bấm zô
hoibai.gif
, đừng bấm
newthread.gif
nha! /:)
Tuyên truyền hộ các mod :D:D:D:D:D:D
________
Câu 1:
Đặt A= $\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+...+\frac{1}{2011.2013}$
2A = $\frac{2}{1.3}+\frac{2}{3.5}+...+\frac{2}{2011.2013}$
2A = $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+...+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2013}$
2A = $1-\frac{1}{2013}$
2A = $\frac{2012}{2013}$
A= $\frac{2012}{4026}<\frac{1}{2}$
 
Last edited by a moderator:
T

tensa_zangetsu

Bài 4:
Ta có bất đẳng thức $\dfrac{1}{a+b}\le\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

$\dfrac{3}{x+y} \le \dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y})$

$\dfrac{3}{y+z} \le \dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})$

$\dfrac{3}{z+x} \le \dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{x})$

Cộng các vế lại ta được:
$\dfrac{3}{x+y}+\dfrac{3}{y+z}+\dfrac{3}{z+x} \le \dfrac{3}{2}(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{y})=\dfrac{3}{2x}+\dfrac{3}{2y}+\dfrac{3}{2z} \;\;\;\;(dpcm)$
Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z$
 
Last edited by a moderator:
N

naive_ichi

Bài 5:
Gọi số thập phân cần tìm là x (đk: phần nguyên là số có 1 chữ số)
Khi viết thêm 2 vào tức là đã cộng thêm vào số này 20 đơn vị
Lại chuyển dấu phẩy sang trái một chữ số tức là đã chia số này đi 10 lần.
Ta có phương trình:
$\frac{9}{10}x = \frac{20+x}{10}$
\Leftrightarrow ... \Leftrightarrow x= 2,5 (t/m đk)
Vậy số cần tìm là 2,5

 
C

casidainganha

bài 3

Đề bài của bạn bị thiếu rồi. Nếu đề bài là(x+y+z+t)($\frac{1}{x+y+z}$+ $\frac{1}{y+z+t}$+ $\frac{1}{t+x+y}$+ $\frac{1}{z+x+t}$. Nếu đề bài như vậy thì mình có
(x+y+z+t)($\frac{1}{x+y+z}$+ $\frac{1}{y+z+t}$+ $\frac{1}{t+x+y}$+ $\frac{1}{z+x+t}$
\geq (x+y+z+t)($\frac{16}{x+y+z+y+z+t+t+x+y+z+x+t}$)
= (x+y+z+t)($\frac{16}{3(x+y+z+t)}$)=$\frac{16}{3}$
bdt được sử dụng là $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{d}$\geq $\frac{16}{a+b+c+d}$
 
C

casidainganha

bài 2

Bạn ơi bài 2 là lớn hơn 503,5 hay 503.5 vậy?????????? Nếu đó là 503,5 thì CM bài này khá dễ
Giải
Vì (n-1).n.(n+1)\leq $n^3$\Rightarrow $\frac{1}{n^3}$\leq $\frac{1}{(n-1)n(n+1)}$
Áp dụng ta có
B\leq 2014( $\frac{1}{1.2.3}$ +$\frac{1}{2.3.4}$+....+ $\frac{1}{(n-1)n(n+1)}$
=$\frac{2014}{2}$( $\frac{1}{1.2}$- $\frac{1}{2.3}$+ $\frac{1}{2.3}$-.....+$\frac{1}{(n-1)n}$ - $\frac{1}{(n+1)n}$= $\frac{2014}{2}$( $\frac{1}{1.2}$- $\frac{1}{(n+1)n}$\leq$\frac{2014}{2}$.$\frac{1}{1.2}$=503,5
 
Last edited by a moderator:
C

congdayhi10

casidainganha said:
Đề bài của bạn bị thiếu rồi. Nếu đề bài là(x+y+z+t)($\frac{1}{x+y+z}$+ $\frac{1}{y+z+t}$+ $\frac{1}{t+x+y}$+ $\frac{1}{z+x+t}$. Nếu đề bài như vậy thì mình có
(x+y+z+t)($\frac{1}{x+y+z}$+ $\frac{1}{y+z+t}$+ $\frac{1}{t+x+y}$+ $\frac{1}{z+x+t}$
\geq (x+y+z+t)($\frac{16}{x+y+z+y+z+t+t+x+y+z+x+t}$)
= (x+y+z+t)($\frac{16}{3(x+y+z+t)}$)=$\frac{16}{3}$
bdt được sử dụng là $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{d}$\geq $\frac{16}{a+b+c+d}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
T cũng nghĩ là thiếu nhưng cái đề n chỉ cho có 3 biểu thức ở ngoặc thứ 2 thì biết làm thế nào?
 
C

congdayhi10

casidainganha said:
Đề bài của bạn bị thiếu rồi. Nếu đề bài là(x+y+z+t)($\frac{1}{x+y+z}$+ $\frac{1}{y+z+t}$+ $\frac{1}{t+x+y}$+ $\frac{1}{z+x+t}$. Nếu đề bài như vậy thì mình có
(x+y+z+t)($\frac{1}{x+y+z}$+ $\frac{1}{y+z+t}$+ $\frac{1}{t+x+y}$+ $\frac{1}{z+x+t}$
\geq (x+y+z+t)($\frac{16}{x+y+z+y+z+t+t+x+y+z+x+t}$)
= (x+y+z+t)($\frac{16}{3(x+y+z+t)}$)=$\frac{16}{3}$
bdt được sử dụng là $\frac{1}{a}$ +$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{d}$\geq $\frac{16}{a+b+c+d}$
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

T vẫn chưa hiểu cách làm lắm. Tại sao cái chỗ ($\frac{1}{x+y+z}$+ $\frac{1}{y+z+t}$+ $\frac{1}{t+x+y}$+ $\frac{1}{z+x+t}$ lại ra đk ($\frac{16}{x+y+z+y+z+t+t+x+y+z+x+t}$) . Chỗ này mình chưa rõ lắm. Cái bdt cosi cho 4 số có ra đk thế này đâu. Vs lại t cũng chả biết thấy cô giáo ghi đề như thế.
 
C

congdayhi10

casidainganha said:
Bạn ơi bài 2 là lớn hơn 503,5 hay 503.5 vậy?????????? Nếu đó là 503,5 thì CM bài này khá dễ
Giải
Vì (n-1).n.(n+1)\leq $n^3$\Rightarrow $\frac{1}{n^3}$\leq $\frac{1}{(n-1)n(n+1)}$
Áp dụng ta có
B\leq 2014( $\frac{1}{1.2.3}$ +$\frac{1}{2.3.4}$+....+ $\frac{1}{(n-1)n(n+1)}$
=$\frac{2014}{2}$( $\frac{1}{1.2}$- $\frac{1}{2.3}$+ $\frac{1}{2.3}$-.....+$\frac{1}{(n-1)n}$ - $\frac{1}{(n+1)n}$= $\frac{2014}{2}$( $\frac{1}{1.2}$- $\frac{1}{(n+1)n}$\leq$\frac{2014}{2}$.$\frac{1}{1.2}$=503,5
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đề bài nhỏ hơn b ak. Mà t nghĩ $\frac{1}{n^3}$\leq $\frac{1}{(n-1)n(n+1)}$ mẫu số càng lớn thì n phải nhỏ hơn chứ?
 
Last edited by a moderator:
S

su10112000a

ta có:
1/(x+y+z)+1/(y+z+t)+1/(t+x+y)+1/(z+x+t) >=16/(x+y+z+y+z+t+t+x+y+z+x+t)
là do áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
 
Last edited by a moderator:
T

tensa_zangetsu

congdayhi10 said:
T vẫn chưa hiểu cách làm lắm. Tại sao cái chỗ ($\frac{1}{x+y+z}$+ $\frac{1}{y+z+t}$+ $\frac{1}{t+x+y}$+ $\frac{1}{z+x+t}$ lại ra đk ($\frac{16}{x+y+z+y+z+t+t+x+y+z+x+t}$) . Chỗ này mình chưa rõ lắm. Cái bdt cosi cho 4 số có ra đk thế này đâu. Vs lại t cũng chả biết thấy cô giáo ghi đề như thế.
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$\dfrac{a^2_1}{b_1}+\dfrac{a^2_2}{b_2}+...+\dfrac{a^2_n}{b_n} \ge \dfrac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}$

Dấu đẳng thức xảy ra khi $a_i=k.b_i$
 
C

casidainganha

Bất đẳng thức nào cho dù không có vẫn được sử dụng, miễn sao bạn có thể chứng minh bất đẳng thức đó là okie
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom