- 27 Tháng mười 2018
- 3,742
- 3,706
- 561
- Hà Nội
- Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!
ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.
Lý thuyết: cho hàm f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b)
1. Hàm f(x) ĐB trên (a;b) nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc (a;b)
2. Hàm f(x) NB trên (a;b) nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc (a;b)
Lý thuyết đồ thị: hàm f ' (x) > 0 trên đoạn (a;b) nếu trên đoạn đó, đồ thị f ' (x) nằm phía trên trục hoành. Và ngược lại, f ' (x) < 0 trên (a;b) nếu trên đoạn đó, đồ thị f ' (x) nằm phía dưới trục hoành. f '(x)=0 khi đồ thị f'(x) cắt trục hoành. Kiến thức cần để làm đươc chỉ có mỗi vậy thôi.
Ví dụ 1:
Cho hàm f(x) có đồ thị hàm f ' (x) như sau:
Xét các khoảng ĐB, NB của hàm g(x)=f(2-x).
Giải ( các ví dụ dưới đây là cách giải của mình, không rõ các bạn đã học và làm cách giải nào, nếu thấy cách dưới hay ho thì có thể làm theo )
Ta có [TEX]g'(x)=(2-x)'.f'(2-x)=-f'(2-x)[/TEX]
Cho ai chưa hiểu rõ cái [TEX]f'(2-x) [/TEX] là cái gì, thì nó vẫn là hàm [TEX]f'(x)[/TEX], có điều chỗ nào có x thì nó cứ nhằm vào đó mà thay biến x bằng biến 2-x. Kiểu : [TEX]f(x)=x^2-2x[/TEX] thì [TEX]f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)[/TEX].
Như vậy, dựa vào đồ thị f'(x), pt [TEX]f'(x)=0[/TEX]có 3 nghiệm là x=-1 ; x=1; x=4
Theo giải thích ở trên, chỗ nào có x thì thay bằng 2-x, nên [TEX]f'(2-x)=0[/TEX] có các nghiệm là:
2-x=-1<=>x=3; 2-x=1<=>x=1; 2-x=4<=>x=-2
Giờ cần lập BBT ( hoặc trục xét dấu thôi cũng được ), để xét dấu của g(x). Nhìn đồ thị f ' (x), không có nghiệm nào là kép( nghiệm kép thì đồ thị chỉ tiếp xúc với Ox chứ không đi qua từ trên xuống dưới hay từ dưới lên trên Ox) . Do đó sử dụng quy tắc đan dấu bình thường.
Ta cần biết dấu của [TEX]f ' (2-x)[/TEX]. Giờ ta chọn bừa 1 giá trị, x=10 đi. Vậy là ta xét dấu của [TEX]f'(2-10)=f'(-8)[/TEX], nhìn lên đồ thị thì [TEX]f'(-8)<0=> g ' (10) = -f'(-8)>0[/TEX]
Vậy đan dấu được rồi:
Đến đây thì kết luận được g(x) ĐB trên các khoảng (-2;1), (3;+oo) , NB trên (-oo;-2),(1;3)
Ví dụ 2: Cho hàm f(x) có đồ thị hàm f ' (x) như sau:
Xét các khoảng ĐB, NB của hàm [TEX]g(x)=f(x^2-2)[/TEX]
Giải:
Ta có: [TEX]g(x)=2x.f'(x^2-2)[/TEX]
Dựa vào đồ thị : [TEX]f'(x)=0[/TEX] có 2 nghiệm x=-1;x=2, trong đó x=-1 là nghiệm kép.
Vậy [TEX]g'(x)=0<=>2x.f'(x^2-2)=0[/TEX] có các nghiệm:
[TEX]2x=0<=>x=0[/TEX] hoặc [TEX]f'(x^2-2)=0[/TEX]
[TEX]f'(x^2-2)=0[/TEX] có các nghiệm:
[TEX]x^2-2=-1<=>x=1;x=-1[/TEX], cả 2 nghiệm này đều là kép do bản thân x=-1 là nghiệm kép của [TEX]f'(x)=0[/TEX]
[TEX]x^2-2=2<=>x=2;x=-2[/TEX]
Giờ muốn xét dấu, lưu ý có 2 nghiệm kép nên qua 2 nghiệm x=-1, x=1 thì [TEX]g'(x)[/TEX] không đổi dấu.
Chọn thử: x=10, [TEX]f'(x^2-2)=f'(98)>0[/TEX]=>[TEX]g'(10)=2.10.f'(98)>0[/TEX]
Vậy ta có được trục xét dấu:
Vậy ta kết luận được các khoảng ĐB, NB. Trông khá dễ phải không nhỉ? Cẩn thận 1 chút với các nghiệm kép là được.
Ví dụ 3: Cho hàm f(x) có đồ thị hàm f ' (x) như sau:
Cho biết [TEX]f(0)+f(1)-2f(2)=f(4)-f(3)[/TEX]
Trong các giá trị sau: f(0), f(1), f(4), thì giá trị nào nhỏ nhất?
Giải: Đây là 1 bài ứng dụng của kiến thức về ĐB, NB của hàm số.
Dựa vào đồ thị [TEX]f'(x)[/TEX] ta có được [TEX]f (x) [/TEX] ĐB trên (0;2), NB trên (2;4)
ĐB trong 1 khoảng tức là x tăng thì f(x) tăng, NB trong 1 khoảng tức là x tăng thì f(x) giảm.
Như vậy trong (0;2) thì f(0) hiển nhiên nhỏ hơn f(1), vậy đáp án chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Vậy sử dụng giả thiết đề cho, ta nghĩ đến xét hiệu:
[TEX]f(0)-f(4)=2f(2)-f(1)-f(3)[/TEX]
Trong (2;4) thì f(x) NB nên f(2)>f(3), trong (0;2) thì f(x) ĐB nên f(2)>f(1). Cộng vế với vế có:
2f(2)>f(1)+f(3)=>2f(2)-f(1)-f(3)>0 => f(0)-f(4)>0=>f(0)>f(4)
Trên đây là 1 số ví dụ về tính ĐB, NB của hàm số f(x). Nhìn chung, cứ nắm vững SGK là làm được thật, như câu mà các thủ khoa hay chém gió.
1. Hàm f(x) ĐB trên (a;b) nếu f'(x)>0 với mọi x thuộc (a;b)
2. Hàm f(x) NB trên (a;b) nếu f'(x)<0 với mọi x thuộc (a;b)
Lý thuyết đồ thị: hàm f ' (x) > 0 trên đoạn (a;b) nếu trên đoạn đó, đồ thị f ' (x) nằm phía trên trục hoành. Và ngược lại, f ' (x) < 0 trên (a;b) nếu trên đoạn đó, đồ thị f ' (x) nằm phía dưới trục hoành. f '(x)=0 khi đồ thị f'(x) cắt trục hoành. Kiến thức cần để làm đươc chỉ có mỗi vậy thôi.
Ví dụ 1:
Cho hàm f(x) có đồ thị hàm f ' (x) như sau:
Xét các khoảng ĐB, NB của hàm g(x)=f(2-x).
Giải ( các ví dụ dưới đây là cách giải của mình, không rõ các bạn đã học và làm cách giải nào, nếu thấy cách dưới hay ho thì có thể làm theo )
Ta có [TEX]g'(x)=(2-x)'.f'(2-x)=-f'(2-x)[/TEX]
Cho ai chưa hiểu rõ cái [TEX]f'(2-x) [/TEX] là cái gì, thì nó vẫn là hàm [TEX]f'(x)[/TEX], có điều chỗ nào có x thì nó cứ nhằm vào đó mà thay biến x bằng biến 2-x. Kiểu : [TEX]f(x)=x^2-2x[/TEX] thì [TEX]f(2-x)=(2-x)^2-2(2-x)[/TEX].
Như vậy, dựa vào đồ thị f'(x), pt [TEX]f'(x)=0[/TEX]có 3 nghiệm là x=-1 ; x=1; x=4
Theo giải thích ở trên, chỗ nào có x thì thay bằng 2-x, nên [TEX]f'(2-x)=0[/TEX] có các nghiệm là:
2-x=-1<=>x=3; 2-x=1<=>x=1; 2-x=4<=>x=-2
Giờ cần lập BBT ( hoặc trục xét dấu thôi cũng được ), để xét dấu của g(x). Nhìn đồ thị f ' (x), không có nghiệm nào là kép( nghiệm kép thì đồ thị chỉ tiếp xúc với Ox chứ không đi qua từ trên xuống dưới hay từ dưới lên trên Ox) . Do đó sử dụng quy tắc đan dấu bình thường.
Ta cần biết dấu của [TEX]f ' (2-x)[/TEX]. Giờ ta chọn bừa 1 giá trị, x=10 đi. Vậy là ta xét dấu của [TEX]f'(2-10)=f'(-8)[/TEX], nhìn lên đồ thị thì [TEX]f'(-8)<0=> g ' (10) = -f'(-8)>0[/TEX]
Vậy đan dấu được rồi:
Đến đây thì kết luận được g(x) ĐB trên các khoảng (-2;1), (3;+oo) , NB trên (-oo;-2),(1;3)
Ví dụ 2: Cho hàm f(x) có đồ thị hàm f ' (x) như sau:
Xét các khoảng ĐB, NB của hàm [TEX]g(x)=f(x^2-2)[/TEX]
Giải:
Ta có: [TEX]g(x)=2x.f'(x^2-2)[/TEX]
Dựa vào đồ thị : [TEX]f'(x)=0[/TEX] có 2 nghiệm x=-1;x=2, trong đó x=-1 là nghiệm kép.
Vậy [TEX]g'(x)=0<=>2x.f'(x^2-2)=0[/TEX] có các nghiệm:
[TEX]2x=0<=>x=0[/TEX] hoặc [TEX]f'(x^2-2)=0[/TEX]
[TEX]f'(x^2-2)=0[/TEX] có các nghiệm:
[TEX]x^2-2=-1<=>x=1;x=-1[/TEX], cả 2 nghiệm này đều là kép do bản thân x=-1 là nghiệm kép của [TEX]f'(x)=0[/TEX]
[TEX]x^2-2=2<=>x=2;x=-2[/TEX]
Giờ muốn xét dấu, lưu ý có 2 nghiệm kép nên qua 2 nghiệm x=-1, x=1 thì [TEX]g'(x)[/TEX] không đổi dấu.
Chọn thử: x=10, [TEX]f'(x^2-2)=f'(98)>0[/TEX]=>[TEX]g'(10)=2.10.f'(98)>0[/TEX]
Vậy ta có được trục xét dấu:
Vậy ta kết luận được các khoảng ĐB, NB. Trông khá dễ phải không nhỉ? Cẩn thận 1 chút với các nghiệm kép là được.
Ví dụ 3: Cho hàm f(x) có đồ thị hàm f ' (x) như sau:
Cho biết [TEX]f(0)+f(1)-2f(2)=f(4)-f(3)[/TEX]
Trong các giá trị sau: f(0), f(1), f(4), thì giá trị nào nhỏ nhất?
Giải: Đây là 1 bài ứng dụng của kiến thức về ĐB, NB của hàm số.
Dựa vào đồ thị [TEX]f'(x)[/TEX] ta có được [TEX]f (x) [/TEX] ĐB trên (0;2), NB trên (2;4)
ĐB trong 1 khoảng tức là x tăng thì f(x) tăng, NB trong 1 khoảng tức là x tăng thì f(x) giảm.
Như vậy trong (0;2) thì f(0) hiển nhiên nhỏ hơn f(1), vậy đáp án chỉ có thể là f(0) hoặc f(4)
Vậy sử dụng giả thiết đề cho, ta nghĩ đến xét hiệu:
[TEX]f(0)-f(4)=2f(2)-f(1)-f(3)[/TEX]
Trong (2;4) thì f(x) NB nên f(2)>f(3), trong (0;2) thì f(x) ĐB nên f(2)>f(1). Cộng vế với vế có:
2f(2)>f(1)+f(3)=>2f(2)-f(1)-f(3)>0 => f(0)-f(4)>0=>f(0)>f(4)
Trên đây là 1 số ví dụ về tính ĐB, NB của hàm số f(x). Nhìn chung, cứ nắm vững SGK là làm được thật, như câu mà các thủ khoa hay chém gió.
