Một nhóm gồm 5 bạn nam, 4 bạn nữ và cầu thủ đứng thành 2 hàng, mỗi hàng 5 người để chụp ảnh kỉ niệm. Xác suất để khi đứng, Công Phượng xen giữa hai bạn nam đồng thời các bạn nữ không đứng cạnh nhau trong cùng một hàng bằng ?
- Mọi người giúp với, em cần gấp ạ
Xem và kiểm tra giúp mình có sai sót gì không nhé :33
Ký hiệu: cầu thủ $p$, nam $n$, nữ $m$
Ta có 10 người xếp vào 2 hàng, ta được sơ đồ:
$\begin{bmatrix}
o&o &o &o &o \\
o&o &o &o &o
\end{bmatrix}$
Không gian mẫu $n(\Omega)=10!=3628800$ cách
Do CP đứng cạnh 2 nam nên ghép thành bộ $(npn)$, khi đó $(npn)$ chiếm vị trí 3 người
*Cách chọn $(npn)$:
Chọn 2 nam: $C^2_5$
Xếp 2 nam vào 2 vị trí: $2!$
Vậy số cách chọn bộ $(npn)$: $20$ cách
Suy ra còn lại 3 nam 4 nữ
*TH1: $(npn)$ ở bìa như sau
$\begin{bmatrix}
(n &p &n) &o &o \\
o& o&o & o&o
\end{bmatrix}$
Dễ thấy rằng ở trường hợp này chỉ có 1 cách xếp 3 nam 4 nữ như sau
$\begin{bmatrix}
(n &p &n) &n/m &m/n \\
m& n&m & n&m
\end{bmatrix}$
Chọn 1 nữ đứng hàng trên: $C^1_4$
Xếp bạn nữ vào 1 trong hai chỗ: $C^1_2$
Xếp 3 bạn nữ còn lại vào 3 vị trí dưới: $3!$
Xếp 3 nam vào 3 vị trí còn lại: $3!$
TH1 có $4$ lần xảy ra (bộ $(npn)$ đứng ở 4 góc)
Suy ra TH1 có $C^1_4.C^1_2.3!.3!.4=1152$ cách
*TH2 $(npn)$ ở giữa như sau
$\begin{bmatrix}
o &(n &p &n) &o \\
o& o & o& o& o
\end{bmatrix}$
**Nếu1: nếu hàng trên có 1 nữ thì sơ đồ sẽ như sau:
$\begin{bmatrix}
n/m & (n &p &n) &m/n \\
m &n &m &n &m
\end{bmatrix}$
Chọn 1 nữ đứng hàng trên: $C^1_4$
Xếp bạn nữ vào 1 trong hai chỗ: $C^1_2$
Xếp 3 bạn nữ còn lại vào 3 vị trí dưới: $3!$
Xếp 3 nam vào 3 vị trí còn lại: $3!$
Suy ra Nếu1 có $C^1_4.C^1_2.3!.3!=288$ cách
**Nếu2: nếu hàng trên có 2 nữ thì sơ đồ sẽ như sau:
$\begin{bmatrix}
m& (n & p &n) &m \\
o&o & o &o &o
\end{bmatrix}$
Ở hàng dưới còn lại 3 nam và 2 nữ xếp xen kẽ, khi này ta sử dụng quy luật vách ngăn, ta xem các bạn nam là vách
Chọn 2 nữ đứng hàng trên: $C^2_4$
Xếp 2 bạn nữ vào hai chỗ: $2!$
Xếp 3 bạn nam vào 3 vị trí dưới: $3!$
Khi đó 3 nam tạo thành 4 vị trí cho nữ, chọn 2 vị trí cho 2 bạn nữ: $C^2_4$
Xếp 2 bạn nữ vào 2 vị trí $2!$
Suy ra Nếu2 có $C^2_4.2!.3!.C^2_4.2!=864$ cách
TH2 có 2 lần xảy ra (ở phía trên và phía dưới)
Do đó TH2 có $(288+864).2=2304$ cách
Vậy $n(A)=20(1152+2304)=69120$ cách
$p(A)=\dfrac{n(A)}{n(\Omega)}=\dfrac{69120}{3628800}=\dfrac{2}{105}$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
