xác định công thức tổng quát của dãy số [tex]\begin{cases} u_{1} =0\\ u_{n+1}=\frac{n}{n+1}\left(u_

V

vuive_yeudoi

Ta sẽ chứng minh bằng nạp rằng là
$$ u_n =\frac{n-1}{2} \ ; \text{ với mọi} \ n \in \mathbb{N^{*}} \quad{(1)}$$
  • Với $ \displaystyle n=1 $ thì $ \displaystyle u_1=\frac{1-1}{2}=0 $ nên $ \displaystyle (1) $ đúng.
  • Giả sử $ \displaystyle (1) $ đúng với $ \displaystyle n=k $, tức là có
    $$ u_k = \frac{k-1}{2} $$
  • Ta sẽ chứng minh $ \displaystyle (1) $ cũng đúng với $ \displaystyle n=k+1 $.

    Thật vậy
    $$ u_{k+1}=\frac{k}{k+1} \left( \frac{k-1}{2}+1 \right) = \frac{k}{2} $$
    Vậy $ \displaystyle (1) $ đúng với $ \displaystyle n=k+1 $.
Theo nguyên lý quy nạp thì
$$ u_n =\frac{n-1}{2} \ ; \text{ với mọi} \ n \in \mathbb{N^{*}}$$
 
H

huynhbachkhoa23

Chị làm dài quá, bài này dùng hàm lặp sẽ hay và gọn hơn rất nhiều.

Có $(n+1)u_{n+1}=n.u_n+n=(n-1).u_{n-1}+(n-1)+n=...=u_1+1+2+3+...+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$

Suy ra $u_{n}=\dfrac{n-1}{2}$
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom