Toán 10 $(x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^{2}-y^{2})$

[le thi khuyen01121978]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

tìm f: [tex]\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] sao cho:
[tex](x-y)f(x+y)-(x+y)f(x-y)=4xy(x^{2}-y^{2})(1), mọi x,y\in R[/tex]
giải
đặt x-y=u, x+y=v
thay vào (1):[tex]uf(v)-vf(u)=(v^{2}-u^{2})uv <=>\frac{f(v)}{v}-\frac{f(u)}{v}=v^{2}-u^{2}[/tex]
đặt u=1
chỗ này mình ko hiểu, chưa biết hàm số, lỡ như x-y ko bằng 1 thì sao? tại sao lại gán x-y=1 được, mọi người giải thích giùm mình với!

 

[Tiến Phùng]

người ta còn đoạn sau nữa mà, bạn gõ full lên, hoặc chụp lên. Đọc cả bài thì mới hiểu được chứ :v

 

[le thi khuyen01121978]

người ta còn đoạn sau nữa mà, bạn gõ full lên, hoặc chụp lên. Đọc cả bài thì mới hiểu được chứ :v

cho v=1 ta có: [tex]\frac{f(v)}{v}-f(1)=v^{2}-1 <=>f(v)=v^{3}+av,v\neq 0(a=f(1)-1)[/tex]
cho x=y=0 ta có:2f(0)=0 do đó f(0)=0
KL:[tex]f(x)=x^{3}+ax,mọi x\in R[/tex]

 

[Ngoc Anhs]

cho v=1 ta có: [tex]\frac{f(v)}{v}-f(1)=v^{2}-1 <=>f(v)=v^{3}+av,v\neq 0(a=f(1)-1)[/tex]
cho x=y=0 ta có:2f(0)=0 do đó f(0)=0
KL:[tex]f(x)=x^{3}+ax,mọi x\in R[/tex]

Giá trị của $u$, $v$ thỏa mãn hàm này nên ta có thể chọn thôi em!

 

[le thi khuyen01121978]

Giá trị của $u$, $v$ thỏa mãn hàm này nên ta có thể chọn thôi em!

chị ơi chị giải thích rõ hơn giùm em được ko ạ?

 

[7 1 2 5]

Bởi vì hàm này thỏa mãn với mọi x,y nên x-y và x+y có thể chọn bất kì...

chị ơi chị giải thích rõ hơn giùm em được ko ạ?

 

[Ngoc Anhs]

chị ơi chị giải thích rõ hơn giùm em được ko ạ?

Hiểu đơn giản thôi em !
Giả sử như ta có một phương trình nghiệm đúng với mọi x thuộc khoảng nào đó, thì khi ta thay mọi x thuộc khoảng đó vào phương trình đều thỏa mãn
Ở đây cũng vậy thôi!

 

[le thi khuyen01121978]

cho em hỏi tí nữa. vậy ở cuối người ta xét cho x=y=0 ta có:2f(0)=0 do đó f(0)=0 làm gì ạ?

 

[Ngoc Anhs]

Trình bày lại như này cho dễ hiểu nhá!
Giả sử $f$ là hàm thỏa mãn yêu cầu bài toán
Thay $x=y=1$ vào $(1)$ ta được : $-2f(0)=0$ <=> $f(0)=0$
Sử dụng phép đặt [tex]\left\{\begin{matrix} x+y=u\\ x-y=v \end{matrix}\right.\Rightarrow uv=x^2-y^2[/tex]
Ta được:
[tex]v.f(u)-u.f(v)=uv.(u^2-v^2)[/tex]
Xét 2 khả năng sau:
Khả năng 1: [tex]uv\neq 0\Rightarrow \frac{f(u)}{u}-\frac{f(v)}{v}=u^2-v^2\Rightarrow \frac{f(u)}{u}-u^2=\frac{f(v)}{v}-v^2,\forall u.v\neq 0, u,v\in \mathbb{R}[/tex]
Thay $v=1$ vào ta được: [tex]\frac{f(u)}{u}-u^2=f(1)-1\Rightarrow f(u)=\left ( f(1) -1\right )u+u^3,\forall u\neq 0[/tex]
Mặt khác kết hợp với $f(0)=0$ [tex]\Rightarrow f(u)=\left ( f(1) -1\right )u+u^3,\forall u\in \mathbb{R}[/tex]
Khả năng 2: [tex]uv=0\Rightarrow f(u)=0,\forall u\in \mathbb{R}[/tex]
Thử lại ta có hàm [tex]f(x)=\left ( f(1) -1\right )x+x^3[/tex]