$x^3-y^3-3x^2+6y^2=-6x+15y-10$

[quanghao98]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Giải HPT sau với x,y thuộc R
$\left\{\begin{matrix} x^3-y^3-3x^2+6y^2=-6x+15y-10 & \\ y\sqrt{x+3}+(y+6)\sqrt{x+10}=y^2+4x & \end{matrix}\right.$

 

[huynhbachkhoa23]

Nhập biểu thức này vào máy casio: $x^3-y^3-3x^2+6y^2+6x-15y+10$, công việc của ta là truy lùng nghiệm đẹp.
Cho $y=1$ ta được $x=0$, cho $y=2$ ta được $x=1$, cho $y=3$ ta được $x=2$
Vậy có thể lắm có nhân tử $y=x+1$, thử lại ra đúng y: $(x+1-y)(x^2+y^2-4x-5y+xy+10)=0$
Dễ thấy $x^2+y^2-4x-5y+xy+10\ge 3>0$ nên $y=x+1$
Thay vào phương trình thứ hai ta được: $y\sqrt{y+2}+(y+6)\sqrt{y+9}=y^2+4y$
Nghiệm xấu quá không tính ra.

 

[vipboycodon]

Chú thay vào thiếu nha: $y\sqrt{y+2}+(y+6)\sqrt{y+9} = y^2+4y-4$

$\leftrightarrow y(\sqrt{y+2}-3)+(y+6)(\sqrt{y+9}-4)-(y^2-3y-28) = 0$

$\leftrightarrow \dfrac{y(y-7)}{\sqrt{y+2}+3}+\dfrac{(y+6)(y-7)}{\sqrt{y+9}+4}-(y+4)(y-7) = 0$

$\leftrightarrow \left[\begin{matrix} y = 7 \\ \dfrac{y}{\sqrt{y+2}+3}+\dfrac{y+6}{\sqrt{y+9}+4}-(y+4) = 0 \end{matrix}\right.$

Ta có: $\dfrac{y}{\sqrt{y+2}+3}+\dfrac{y+6}{\sqrt{y+9}+4}-(y+4) < \dfrac{y+2}{2}+\dfrac{y+6}{2}-(y+4) = 0$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y) = (6;7)$

 

[huynhbachkhoa23]

Chú thay vào thiếu nha: $y\sqrt{y+2}+(y+6)\sqrt{y+9} = y^2+4y-4$

$\leftrightarrow y(\sqrt{y+2}-3)+(y+6)(\sqrt{y+9}-4)-(y^2-3y-28) = 0$

$\leftrightarrow \dfrac{y(y-7)}{\sqrt{y+2}+3}+\dfrac{(y+6)(y-7)}{\sqrt{y+9}+4}-(y+4)(y-7) = 0$

$\leftrightarrow \left[\begin{matrix} y = 7 \\ \dfrac{y}{\sqrt{y+2}+3}+\dfrac{y+6}{\sqrt{y+9}+4}-(y+4) = 0 \end{matrix}\right.$

Ta có: $\dfrac{y}{\sqrt{y+2}+3}+\dfrac{y+6}{\sqrt{y+9}+4}-(y+4) < \dfrac{y+2}{2}+\dfrac{y+6}{2}-(y+4) = 0$

Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y) = (6;7)$

Holy f/cking sh/t. Đọc nhầm $y^2+4x$ thành $y^2+4y$ :|

 

[ngvlong202]

Giải thích cho mìn chỗ bất đẳng thức với ạ mình không hiểu chỗ chứng minh vô nghiệm cho lắm