$x^3 + ax^2 + 2x$ là tích 3 số tự nhiên liên tiếp

[quabongvangst]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Tìm $a$ biết rằng với $x\ge 0$ thì biểu thức $x^3 + ax^2 + 2x$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

 

[eye_smile]

Tìm $a$ biết rằng với $x\ge 0$ thì biểu thức $x^3 + ax^2 + 2x$ là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp.

Ta có: ${x^3} + a{x^2} + 2x = x\left( {{x^2} + ax + 2} \right)$
*Khi phân tích đa thức thành nhân tử thì ${x^2} + ax + 2 = \left( {x + b} \right)\left( {x + c} \right)$
$ \leftrightarrow {x^2} + ax + 2 = {x^2} + \left( {b + c} \right)x + bc$
Đồng nhất hệ số $ \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{b + c = a} \\
{bc = 2} \\
\end{array}} \right.$
Do x là 1 trong 3 số tự nhiên liên tiếp ( phương trình bậc hai 1 ẩn ${x^2} + ax + 2$ chỉ phân tích được nhiều nhất thành 2 hạng tử)
$ \to b;c$ nguyên
$ \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{bc = - 1.\left( { - 2} \right)} \\
{bc = 1.2} \\
\end{array}} \right. \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{b + c = a = - 3} \\
{b + c = a = 3} \\
\end{array}} \right.$
$ \to a = \pm 3$ thoả mãn đề bài (thay vào thử lại)

 

[thinhrost1]

$x^3 + ax^2 + 2x= x(x^2+ax+2)$

\Rightarrow $x^2+ax+2= (x+1)(x+2)=x^2+3x+2$ hoặc $x^2+ax+2=(x-1)(x-2)=x^2-3x+2$

\Rightarrow $a=3$ hoặc $a=-3$