vuông góc

[hjoker11]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

y=x^3+3x^2+mx+1 (C)
Xác định m để y=1 cắt (C) tại 3 điểm C(0;1) D và E sao cho tiếp tuyến của (C) tại D và E vuông góc với nhau

 

[phieuluumotminh]

y=x^3+3x^2+mx+1 (C)
Xác định m để y=1 cắt (C) tại 3 điểm C(0;1) D và E sao cho tiếp tuyến của (C) tại D và E vuông góc với nhau

Để (C) cắt y=1 tại 3 điểm phân biệt thì
phương trình $x^3+3x^2+mx=0$ có 3 nghiệm phân biệt

\Leftrightarrow $x(x^2+3x+m)=0$

[TEX]\Leftrightarrow \left[\begin{x=0}\\{x^2+3x+m}[/TEX]...........[TEX](1)[/TEX]

\Leftrightarrow $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt $x\neq0$

[TEX]\Leftrightarrow \left{\begin{\Delta=9-4m>0}\\{m\neq0}[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow \fbox{\left{\begin{m<\frac94}\\{m\neq0}} [/TEX]................[TEX]( * )[/TEX]

Từ đó => $C(0;1), D(x_1;y_1), E(x_2;y_2)$ $(x_1;x_2$ là nghiệm của $(1))$

Để tiếp tuyến của (C) tại D và E vuông góc thì

[TEX]\fbox{$f'(x_1).f'(x_2)=-1$}[/TEX]

\Leftrightarrow $4m^2 - 9m + 1 = 0$ (Tính $f'(x)$ và dùng vi-et cho $(1)$)

Đến đây giải và áp dụng điều kiện $( * ) => m$

 

[phieuluumotminh]

$f'(x)=3x^2 + 6x +m$

- $f'(x_1).f'(x_2) = -1$

\Leftrightarrow $(3x_{1}^{2} + 6x_1 +m).(3x_{2}^{2} + 6x_2 +m) = -1$

\Leftrightarrow $9(x_1.x_2)^2 + 18x_1.x_2(x_1+x_2 + 2) + 3m[x_1^2+x_2^2 + 2(x_1+x_2)] + m^2 = -1$

\Leftrightarrow $9(x_1.x_2)^2 + 18x_1.x_2(x_1+x_2 + 2) + 3m[(x_1+x_2)^2 - 2x_1.x_2+ 2(x_1+x_2)] + m^2 = -1$.....$ (2)$

Sau đó dùng định lí vi-et:

Nếu $x_1$ và $x_2$ là hai nghiệm của phương trình

$ax^2 + bx + c = 0, (a\neq0)$

thì

$\left\{ \begin{array}{l} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \\ x_1.x_2 = \frac{c}{a} \end{array} \right.$

Do $x_1 ; x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2 + 3x + m = 0$

Nên áp dụng vi-et vào $(2)$ ta được phương trình:

$4m^2 − 9m + 1 = 0$

Đến đây giải và áp dụng điều kiện $( ∗ )=> m$