với a,b là số dương chứng minh

[hp_09]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

a.a/b+b/a≥2
b.(a+b)(1/a+1/b)≥4
c.(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9

 

[thinhrost1]

a.a/b+b/a≥2

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} =\dfrac{a^2+b^2}{ab}\geq 2 \Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2=0(\text{Đúng})$

 

[xuanquynh97]

Câu b) Nhân phá ngoặc được $2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$
theo câu a) \Rightarrow \geq 4
Câu c tương tự cũng nhân ra là được

 

[sagacious]

b.(a+b)(1/a+1/b)≥4

nhân vào đc: 1+\frac{a}{b}+1+\frac{b}{a}
ap đu cau a \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \geq 2
nên (a+b)(1/a+1/b)≥4

 

[huuthuyenrop2]

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a} =\dfrac{a^2+b^2}{ab}\geq 2 \Leftrightarrow a^2+b^2\geq 2ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2=0(\text{Đúng})$

Có cách khác nè:
Áp dụng cauchy ta có:

$\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{a} }=2$

 

[huuthuyenrop2]

b,
áp dụng bất đẳng thức: $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$ \geq$ \frac{4}{a+b}$( tự chứng minh teo cauchy)
ta có:
$(a+b)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}) $\geq $(a+b).\frac{4}{a+b}=4$

 

[tieuthulanh]

c.(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)≥9[/QUOTE]
Ta có:
(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})
= 1 + \frac{a}{b} +\frac{a}{c} + \frac{b}{a} + 1 + \frac{b}{c} +\frac{c}{a}+\frac{c}{b} + 1
= 3+ (\frac{a}{b}+\frac{b}{a}) + ( \frac{a}{c}+\frac{c}{a}) + ( \frac{b}{c}+ \frac{c}{b} )
= 3 + 2+2+2 = 9 (theo KQ phần a)