Toán violympic

[Hiền Cù]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. Tam giác ABC vuông tại A có AB = 5cm; BC = 9cm. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại I. Tính IC
2. Tam giác ABC vuông tại A có BC = 10 cm; góc B = 30 độ, lấy điểm D thuộc cạnh BC sao cho góc BAD = 15 độ. Tính CD
A. 7cm B. 5(

) cm C. 2.5 .

cm d. 7.5 cm
3. Tam giác ABC có AB = 5cm; AC = 9cm; BC = 12cm. Gọi E là trung điểm của AB; D là trung điểm của AC. Trên tia CE lấy điểm M, trên tia BD lấy điểm N sao cho E là trung điểm của CM; D là trung điểm của BN. Tính MN

 

[Phương Trang]

1.
Kẻ IH, IK, IM vuông góc với BC, AC và AB
Do I là giao điểm các đường phân giác trong tam giác ABC nên I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
Ta có: [tex]\Delta AIK[/tex] vuông cân tại A ( có [tex]\widehat{IAK} = 45^{\circ}[/tex] )
nên AK = IK => IK + KC = [tex]2\sqrt{14}[/tex]
Ta có: IK = AK = AM = 5 - BM = 5 - BH = 5 - (9 - HC) = -4 + HC =KC - 4 => KC - IK = 4
=> KC = [tex]\sqrt{14} + 2[/tex] , IK = [tex]\sqrt{14} - 2[/tex]
Pytago ra IC = 6

2. [tex]\Delta ABC[/tex] vuông tại A, có : [tex]\widehat{ABC} = 30^{\circ}[/tex]
=> [tex]\Delta ABC[/tex] là nửa tam giác đều
=> [tex]AC = \frac{BC}{2}= \frac{10}{2} = 5[/tex]
và [tex]AB = AC. \sqrt{3} = 5\sqrt{3}[/tex]
Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho AD là phân giác góc BAE. Kẻ EF vuông góc AB (F thuộc AB).
Dễ chứng minh tam giác AEC đều nên AE = AC = EC = 5
Do AD là p/g góc BAE (cách dựng) nên :
[tex]\widehat{BAE} = 2.\widehat{BAD}[/tex] = [tex]30^{\circ}[/tex] , , mà : [tex]\widehat{EBA} = 30^{\circ}[/tex]
nên [tex]\Delta EAB[/tex] cân tại E => AE =BE=5
Do : EC = 5 nên BE = BC - EC = 10 - 5 = 5
Do AD là p/g góc BAE nên : [tex]\frac{BD}{AB} = \frac{DE}{EA} = \frac{BD + DE}{AB + AE} = \frac{BE}{AB + AE} = \frac{5}{5\sqrt{3}+5} => DE = \frac{AE.5}{5\sqrt{3}+5}[/tex]
Vậy DC = DE + EC = [tex]\frac{5}{\sqrt{3}+1} + 5 = \frac{5+\sqrt{3}}{2}[/tex]
p/s hình như mình sai thì phải có ai nói mình bt sai chỗ nào không

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Xét [tex]\Delta AED[/tex] và [tex]\Delta ABC:[/tex]
[tex]\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\widehat{A}[/tex] là góc chung
[tex]\Rightarrow \Delta AED[/tex] đồng dạng vs [tex]\Delta ABC[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{ED}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{2};\widehat{AED}=\widehat{ABC}[/tex]
[tex]\Rightarrow ED//BC[/tex](vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
[tex]\Rightarrow \Delta OED[/tex] đồng dạng vs [tex]\Delta OCB[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{OE}{OC}=\dfrac{ED}{BC}=\dfrac{1}{2}\\\Rightarrow \dfrac{OE+OC}{OC}=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}\\\Rightarrow \dfrac{EC}{OC}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \dfrac{MC}{OC}=3[/tex]
cm tương tự ta đc [tex]\dfrac{BN}{BO}=3[/tex]
Xét [tex]\Delta OMN[/tex] và [tex]\Delta OCB:[/tex]
[tex]\dfrac{OC}{MC}=\dfrac{OB}{BN}=\dfrac{1}{3}\\\widehat{BOC}=\widehat{MON}[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta OMN[/tex] đồng dạng vs [tex]\Delta OCB[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{OM}{OC}\\\Rightarrow \dfrac{MN+BC}{BC}=\dfrac{OM+OC}{OC}\Leftrightarrow \dfrac{MN+12}{12}=3\\\Leftrightarrow MN=24(cm)[/tex]

 

[Hiền Cù]

View attachment 4992
Xét [tex]\Delta AED[/tex] và [tex]\Delta ABC:[/tex]
[tex]\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{1}{2}[/tex]
[tex]\widehat{A}[/tex] là góc chung
[tex]\Rightarrow \Delta AED[/tex] đồng dạng vs [tex]\Delta ABC[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{ED}{BC}=\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{1}{2};\widehat{AED}=\widehat{ABC}[/tex]
[tex]\Rightarrow ED//BC[/tex](vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)
[tex]\Rightarrow \Delta OED[/tex] đồng dạng vs [tex]\Delta OCB[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{OE}{OC}=\dfrac{ED}{BC}=\dfrac{1}{2}\\\Rightarrow \dfrac{OE+OC}{OC}=\dfrac{1+2}{2}=\dfrac{3}{2}\\\Rightarrow \dfrac{EC}{OC}=\dfrac{3}{2}\Rightarrow \dfrac{MC}{OC}=3[/tex]
cm tương tự ta đc [tex]\dfrac{BN}{BO}=3[/tex]
Xét [tex]\Delta OMN[/tex] và [tex]\Delta OCB:[/tex]
[tex]\dfrac{OC}{MC}=\dfrac{OB}{BN}=\dfrac{1}{3}\\\widehat{BOC}=\widehat{MON}[/tex]
[tex]\Rightarrow \Delta OMN[/tex] đồng dạng vs [tex]\Delta OCB[/tex]
[tex]\Rightarrow \dfrac{MN}{BC}=\dfrac{OM}{OC}\\\Rightarrow \dfrac{MN+BC}{BC}=\dfrac{OM+OC}{OC}\Leftrightarrow \dfrac{MN+12}{12}=3\\\Leftrightarrow MN=24(cm)[/tex]

bạn nào có cách làm khác ko, mk chưa hk tam giác đồng dạng nên hơi khó hiểu
ai có thì giúp mk với

 

[Hiền Cù]

2. [tex]\Delta ABC[/tex] vuông tại A, có : [tex]\widehat{ABC} = 30^{\circ}[/tex]
=> [tex]\Delta ABC[/tex] là nửa tam giác đều
=> [tex]AC = \frac{BC}{2}= \frac{10}{2} = 5[/tex]
và [tex]AB = AC. \sqrt{3} = 5\sqrt{3}[/tex]
Trên cạnh BC, lấy điểm E sao cho AD là phân giác góc BAE. Kẻ EF vuông góc AB (F thuộc AB).
Dễ chứng minh tam giác AEC đều nên AE = AC = EC = 5
Do AD là p/g góc BAE (cách dựng) nên :
[tex]\widehat{BAE} = 2.\widehat{BAD}[/tex] = [tex]30^{\circ}[/tex] , , mà : [tex]\widehat{EBA} = 30^{\circ}[/tex]
nên [tex]\Delta EAB[/tex] cân tại E => AE =BE=5
Do : EC = 5 nên BE = BC - EC = 10 - 5 = 5
Do AD là p/g góc BAE nên : [tex]\frac{BD}{AB} = \frac{DE}{EA} = \frac{BD + DE}{AB + AE} = \frac{BE}{AB + AE} = \frac{5}{5\sqrt{3}+5} => DE = \frac{AE.5}{5\sqrt{3}+5}[/tex]
Vậy DC = DE + EC = [tex]\frac{5}{\sqrt{3}+1} + 5 = \frac{5+\sqrt{3}}{2}[/tex]
p/s hình như mình sai thì phải có ai nói mình bt sai chỗ nào không

bài này cs đúng ko vậy???

 

[Phương Trang]

bài này cs đúng ko vậy???

theo mik thì không sai chỗ nào cả

 

[Ma Long]

3. Tam giác ABC có AB = 5cm; AC = 9cm; BC = 12cm. Gọi E là trung điểm của AB; D là trung điểm của AC. Trên tia CE lấy điểm M, trên tia BD lấy điểm N sao cho E là trung điểm của CM; D là trung điểm của BN. Tính MN

Giai:
1 cách khác:
Ta có: E là trung điểm của AB
E là trung điểm của CM
Suy ra ACBM là hình bình hành.
Suy ra AM // BC và AM=BC
Tương tự ABCN là hình bình hành
Suy ra AN// BC và AN=BC
Từ
AM// BC va AN//BC suy ra AMN thẳng hàng
MN=AM+AN=2BC=24