violympic

A

anhhong138

Áp dụng bđt Cauchy:
$\sqrt[]{x}\leq \dfrac{x+1}{2}$
$\sqrt[]{y-1}\leq \dfrac{y-1+1}{2}=\dfrac{y}{2}$
$\sqrt[]{z-2}\leq \dfrac{z-2+1}{2}=\dfrac{z-1}{2}$
Do đó: $\sqrt[]{x}+\sqrt[]{y-1}+\sqrt[]{z-2}\leq \dfrac{x+1+y+z-1}{2}=\dfrac{x+y+z}{2}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi: $x=1;y=2;z=3$
Vậy: $x^2+y^2+z^2=1^2+2^2+3^2=14$:)
 
Last edited by a moderator:
A

angleofdarkness

Bạn có thể đưa pt về dạng tổng các bình phương = 0.

Có $\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\dfrac{x+y+z}{2}$

\Leftrightarrow $(x+y+z)-2(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2})=0$

\Leftrightarrow $(x-2\sqrt{x}+1)+(y-1-2\sqrt{y-1}+1)+(z-2-2\sqrt{z-2}+1)=0$

\Leftrightarrow $(\sqrt{x}-1)^2+(\sqrt{y-1}-1)^2+(\sqrt{z-2}-1)^2=0$

Đến đây là ra rồi.
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom