Violympic vòng tỉnh 17 lớp 9

[011121]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1:
Nếu phương trình $x^4+ax^3+2x^2+bx+1=0$ có nghiệm thì giá trị nhỏ nhất của $a^2+b^2$ là.................

Câu 2:
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn $$21ab + 2bc + 8ac \leq 12
khi đó giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c}$$ là...............
Nhập kết quả dưới dạng số thập phân gọn nhất.

 

[hien_vuthithanh]

1/

$x=0$ không phải là nghiệm

Với $x\not =0$ thì:

$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$

\Leftrightarrow$ x^2+\dfrac{1}{x^2}+a(x+\dfrac{1}{x})+b=0$

\Leftrightarrow $t^2-2+at+b=0$ với $t=x+\dfrac{1}{x}(|t|\ge 2)$

Ta có: $t^2-2+at+b=0$

\Leftrightarrow $(2-t^2)^2=(at+b)^2\le (a^2+b^2)(1+t^2)$

\Rightarrow $a^2+b^2\ge \dfrac{(2-t^2)^2}{1+t^2}\ge \dfrac{4}{5}$

\Leftrightarrow $(m^2-4)(5m^2-4)\ge 0$ ( luôn đúng )

Vậy $Min(a^2+b^2)=\dfrac{4}{5}$

Nguồn :VMF​

 

[hien_vuthithanh]

2/

Đặt $\left ( a;b;c \right )\rightarrow \left ( \dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right )$.Khi đó điều kiện bài toán là $2x+8y+21z\le12xyz$

$2x+8y+21z\le 12xyz \rightarrow 3z\ge \dfrac{2x+8y}{4xy-7}$

$\rightarrow P\ge x+2y+\dfrac{2x+8y}{4xy-7}=x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{2x}\left [ (4xy-7)+\dfrac{4x^{2}+28}{4xy-7} \right ]\ge x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{1}{x}\sqrt{4x^{2}+28}=x+ \dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\sqrt{\left ( 1+\dfrac{7}{9} \right )\left ( 1+\dfrac{7}{x^{2}} \right )} \ge x+\dfrac{11}{2x}+\dfrac{3}{2}\left ( 1+\dfrac{7}{3x} \right )=x+\dfrac{9}{x}+\dfrac{3}{2}\ge 6+\dfrac{3}{2}=\dfrac{15}{2}$

Nguồn : VMF​

 

[011121]

$x=0$ không phải là nghiệm

Với $x\not =0$ thì:

$x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0$

\Leftrightarrow$ x^2+\dfrac{1}{x^2}+a(x+\dfrac{1}{x})+b=0$

\Leftrightarrow $t^2-2+at+b=0$ với $t=x+\dfrac{1}{x}(|t|\ge 2)$

Ta có: $t^2-2+at+b=0$

\Leftrightarrow $(2-t^2)^2=(at+b)^2\le (a^2+b^2)(1+t^2)$

\Rightarrow $a^2+b^2\ge \dfrac{(2-t^2)^2}{1+t^2}\ge \dfrac{4}{5}$

\Leftrightarrow $(m^2-4)(5m^2-4)\ge 0$ ( luôn đúng )

Vậy $Min(a^2+b^2)=\dfrac{4}{5}$

sai đề rồi bạn...............................................................♥