Toán 9 violympic 9

[minhsssss]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca + abc ≤ 4. CMR: [tex]a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)[/tex]

 

[minhsssss]

@Hoàng Vũ Nghị
jup vs

 

[Hoàng Vũ Nghị]

Cho a, b, c > 0 thỏa mãn: ab + bc + ca + abc ≤ 4. CMR: [tex]a^2+b^2+c^2+a+b+c\geq 2(ab+bc+ca)[/tex]

Ta cần chứng minh
[tex]a+b+c\geq ab+bc+ca[/tex]
Do [tex]x^2+y^2+z^2\geq xy+yz+zx(cauchy)[/tex]
Đặt [tex]a=\frac{2y}{x+z};b=\frac{2z}{x+y};c=\frac{2x}{y+z}[/tex]
Suy ra
[tex]\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq 2(\frac{xy}{(x+z)(y+z)}+\frac{yz}{(x+z)(y+x)}+\frac{zx}{(x+y)(y+z)})\\\Leftrightarrow x^3+y^3+z^3+3xyz\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)[/tex]
(đúng theo schur )
Dấu = xảy ra khi a=b=c=1 hoặc a=b=2,c=1
P/s đây là bài toán của VMO -1996