Toán violympic 9 vòng 16

[havi0201]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

 

[hien_vuthithanh]

10. Có : $x^2+y^2+z^2 \ge xy+yz+zx$

$3(x^2+y^2+z^2) \ge (x+y+z)^2 \Longrightarrow \sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} \ge x+y+z$

Đặt $\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)}=t \ge 0 $ ,cộng theo vế được :

$\dfrac{t^2}{3}+t \ge 6 \iff t \ge 3$ v $t \le -6 $

Do $ t \ge 0 $ nên $t \ge 3 \iff x^2+y^2+z^2 \ge 3$

9. $\dfrac{3a^2}{a+1}+\dfrac{3b^2}{b+1} \ge 3.\dfrac{(a+b)^2}{a+b+2}=1$

Dấu = tại $a=b=\dfrac{1}{2}$