ĐỀ THI HSG
Câu 1 (2 điểm): Cho
a) Rút gọn A.
b) Tìm để A là số nguyên.
Câu 2 (2,5 điểm):
a) Cho a + b + c = 1 và . Tính
b) Cho ba số a, b, c đôi một khác nhau và thoả mãn:
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c phải có một số âm, một số dương.
Câu 3 (2 điểm):
Giải phương trình:
a)
b)
Câu 4 (1 điểm):
Tổng một số tự nhiên và các chữ số của nó bằng 2359. Tìm số tự nhiên đó.
Câu 5 (2,5 điểm):
Cho tam giác ABC vuông ở A và điểm H di chuyển trên BC. Gọi E, F lần lượt là điểm đối xứng qua AB, AC của H.
a) Chứng minh E, A, F thẳng hàng
b) Chứng minh BEFC là hình thang. Có thể tìm được vị trí của H để BEFC trở thành hình thang vuông, hình bình hành, hình chữ nhật được không?
c) Xác định vị trí của H để tam giác EHF có diện tích lớn nhất.
Bài 6:
Tìm số có 4 chữ số , biết rằng nếu đem số ấy nhân với 2 rồi trừ đi 1004 thì kết quả nhận được là số có 4 chữ số viết bởi các chữ số như số ban đầu nhưng theo thứ tự ngược lại.
Bài 7:
a) Phân tích đa thức: thành nhân tử.
b) Giải phương trình: .
Bài 8:
Cho và .
Chứng minh .
Bài 9
Cho tam giác ABC có ; đường cao AH. Các điểm E và F theo thứ tự thuộc các đoạn thẳng AH, AC sao cho . Gọi M là trung điểm AB.
a) Chứng minh tam giác AMF đồng dạng với tam giác BHE.
b) Chứng minh .
Câu 10
Cho số A gồm 100 chữ số 1 và số B gồm 50 chữ số 2. Chứng minh rằng A - B là một số chính phương.